Досліджено диференціально-геометричні аспекти узагальнених комплексів де Рама - Ходжа, що природним чином пов'язані з інтегровними багатовимірними диференціальними системами типу М. Громова, а також геометричну структуру характеристичних класів Черна. Побудовано спеціальні диференціальні інваріанти типу Черна та розглянуто їх важливість для інтегровності багатовимірних нелінійних диференціальних систем на ріманових багатовидах. Розглянуто приклад тривимірної нелінійної інтегровної диференціальної системи типу Деві - Стюартсона і проаналізовано їх сполучне відображення та споріднені диференціальні інваріанти типу Черна.

Доведено, що метод породжуючих функціоналів Боголюбова є досить ефективним для вивчення функцій розподілу рівноважних та нерівноважних станів класичних багаточастинкових динамічних систем. У деяких випадках породжуючі функціонали Боголюбова можна виразити через нескінченні розвинення діаграм Урселла - Мартіна, які збігаються при накладанні додаткових умов на розглядувані статистичні системи. Розвинуто класичну ідею Боголюбова про використання перетворення Вігнера оператора щільності для вивчення нерівноважних функцій розподілу та побудовано новий нестаціонарний розв'язок класичного рівняння еволюції функціонала Боголюбова.

The work is devoted to studying some new classical electrodynamics models of interacting charged point particles and the aspects of the quantization via the Dirac procedure related to them. Based on the vacuum field theory no-geometry approach developed in [6,7,9], the Lagrangian and Hamiltonian reformulations of some alternative classical electrodynamics models are devised. The Dirac-type quantization procedure for the considered alternative electrodynamics models, based on the obtained canonical Hamiltonian formulations, is developed.

Зазначено, що альтернативний спосіб відновлення функції за її образом Лапласа, відомий як метод оберненого перетворення Уіддера, може бути корисним у вирішенні деяких проблем нерівноважної статистичної механіки. Як приклад успішного застосування цього підходу розглянуто процес релаксації збудженого стану атома у простій, але фізично змістовній моделі, яка описує взаємодію дворівневого атома з полями в континуальній границі.

Досліджено модель полярона в іонному кристалі в представленні Боголюбова, використовуючи особливе наближення хаотичних фаз. Виведено та описано нову точно розв'язну наближену модель полярона. Аналітично одержано вільну енергію такої моделі за ненульової температури. Розглянуто вільну енергію полярона в постійному магнітному полі за ненульової температури. На базі унітарного перетворення Боголюбова для поляронного гамільтоніана одержано важливий новий результат: повна модель полярона є точно розв'язною.

The work is devoted to the study of the Lagrangian and Hamiltonian properties of some relativistic electrodynamics models and is a continuation of our previous investigations. Based on the vacuum field theory approach, the Lagrangian and Hamiltonian reformulation of some classical electrodynamics models is devised. The Dirac type quantization procedure, based on the canonical Hamiltonian formulation, is developed. Within the approach proposed in the work a possibility of the combined description both of electrodynamics and gravity is analyzed.

Проаналізовано підхід до вивчення функцій розподілу систем багатьох частинок за рівноважної температури та властивості їх стабільності, що базується на представленнях нерелятивістичної алгебри струмів. Показано, що метод породжуючого функції розподілу класичного функціонала Боголюбова є досить ефективним інструментом для побудови незвідних представлень алгебри струмів і відповідних узагальнених розкладів мір, включаючи відоме перетворення до колективних змінних. Запропоновано конструкцію ефективного оператора Гамільтона, обговорено особливості його спектра залежно від стійкості рівноваги систем багатьох частинок.

Класичні рівняння електромагнітного поля Максвелла та сили Лоренца виводяться в межах фейнманівської парадигми власного часу та відповідного вакуумно-польового підходу. Надано наново виведення класичного закону Ампера, обговорено його зв'язок із фейнманівською парадигмою власного часу. Проблему інерції електрона проаналізовано як на базі лагранжевого та гамільтонового формалізмів, так і відповідного компенсаційного принципу енергія - тиск стохастичної електродинаміки. Одержано модифіковану силу Абрагама - Лоренца для радіаційного гальмування, наведено аргументацію щодо електромагнітної природи маси електрона.