Висвітлено теоретичні засади лінійної алгебри й аналітичної геометрії, розкрито можливості їх застосування в економічній теорії. Увагу приділено матричному методу розв'язання систем лінійних рівнянь, лінійній моделі обміну, моделі зрівноважених цін, полярній системі координат, кривим другого порядку, кривим попиту та пропозиції, павутиноподібній моделі ринку.

Освещены теоретические основы линейной алгебры и аналитической геометрии, раскрыты возможности их применения в экономической теории. Уделено внимание матричному методу решения систем линейных уравнений, линейной модели обмена, модели уравновешенных цен, полярной системе координат, крывым второго порядка, кривым спроса и предложения, паутиноподобной модели рынка.

Зазначено, що лінійна алгебра логічно випливає з алгебри геометричних векторів і полегшує розуміння та викладення інших розділів математики. У спрощеній формі пояснено суть аксіом лінійної алгебри та її важливих понять - лінійного простору, скалярного добутку елементів простору, лінійного оператора, білінійної та квадратичної форми. Показано, як ці поняття використовують для пояснення основних властивостей матриць та їхніх визначників, розв'язання алгебраїчних і диференціальних рівнянь, вивчення коливальних та хвильових процесів, дослідження стійкості стаціонарних станів динамічних систем до дії різних чинників, які збурюють ці стани. Пояснено зв'язок лінійної алгебри з квантовою механікою, рядом та перетворенням Фур'є, гармонічним аналізом сигналів.

Зазначено, що запропонований навчальний посібник є результатом багаторічного досвіду викладання авторами дисципліни "Лінійна алгебра та аналітична геометрія" для здобувачів спеціальності 121 "Інженерія програмного забезпечення", а також дисципліни "Вища математика", в якій включені розділи "Лінійна алгебра" і "Аналітична геометрія", яка викладається для здобувачів спеціальностей 122 "Комп'ютерні науки" та 123 "Комп'ютерна інженерія". Висвітлено теоретичні основи дисципліни "Лінійна алгебра та аналітична геометрія". Розглянуто питання математичного аналізу та дискретної математики. Подано інформацію про визначники вищих порядків, операції над матрицями, метод послідовного виключення змінних, полярну систему координат.

Передмова 5 1 Лінійні простори 7 1.1 Означення лінійного простору 8 1.2 Лінійна залежність векторів 15 1.3 Скінченновимірний лінійний простір 20 1.4 Ізоморфізм лінійних просторів 31 1.5 Підпростори лінійного простору. Дії над підпросторами 38 1.6 Суміжні класи. Фактор-простір 47 2 Лінійні відображення 54 2.1 Лінійні відображення лінійних просторів. Лінійні оператори 55 2.2 Лінійні відображення скінченновимірних лінійних просторів. Матриця лінійного відображення 63 2.3 Дії над лінійними відображеннями. Зв’язок дій над лінійними відображеннями з діями над їх матрицями . 70 2.4 Характеристичний многочлен матриці і лінійного оператора. Власні вектори і власні значення лінійного оператора 78 3 Будова лінійного простору з лінійним оператором 89 3.1 Інваріантні підпростори 90 3.1.1 Циклічні простори 93 3.1.2 Примарні простори 102 3.2 Нормальні форми Фробеніуса і Жордана 111 3.3 А-матриці і їх використання для знаходження нормальних форм 120 3.3.1 Еквівалентність А-матриць 120 3.3.2 Унімодулярні А-матриці 126 4 Лінійні простори із скалярним добутком 14J 4.1 Евклідів та унітарний простори 142 4.1.1 Евклідів простір 142 4.1.2 Унітарний простір 150 4.1.3 Ізометрія евклідових просторів 151 4.1.4 Ортогональне доповнення 152 4.2 Ортогональні і унітарні оператори 158 4.2.1 Ортогональні матриці 158 4.2.2 Унітарні матриці 161 4.2.3 Ортогональні оператори 162 4.2.4 Унітарні оператори 170 4.3 Симетричні і ермітові оператори 175 4.3.1 Симетричні матриці 175 4.3.2 Ермітові матриці 178 4.3.3 Симетричні оператори 178 4.3.4 Ермітові оператори 184 5 Квадратичні форми 187 5.1 Еквівалентність квадратичних форм 191 5.1.1 Нормальний вигляд комплексної квадратичної форми 200 5.1.2 Нормальний вигляд дійсної квадратичної форми 202 5.2 Додатно визначені квадратичні форми 208 Зведення дійсної квадратичної форми до головних

Викладено розділ "Лінійна алгебра" курсу "Вища математика", який включає такі теми: комплексні числа, многочлени та їхні корені, алгебра матриць, визначники, системи лінійних рівнянь, лінійні простори, лінійні оператори у векторних просторах. Вміщено стислі теоретичні відомості, приклади розв'язання типових задач та вправи для самостійної роботи.

Висвітлено базові знання з лінійної алгебри згідно з програмою підготовки бакалаврів і магістрів за напрямком економіка та підприємництво і спеціалізацією фінанси і кредит, облік і аудит, економічна кібернетика, менеджмент і статистика. Зазначено, що теоретичний матеріал супроводжується розв'язуванням низки типових прикладів, доповнюється питаннями для самоконтролю, а також завданнями для індивідуальної роботи. Широко вживані математичні терміни подано відповідними англійськими аналогами.

Наведено огляд методів розв'язування матричних лінійних різносторонніх рівнянь, зокрема рівнянь типу Сильвестра над різними областями та опису структури їхніх розв'язків. Увагу зосереджено на розширенні і узагальненні результатів, одержаних авторами раніше. На основі стандартної форми поліноміальних матриць відносно напівскалярної еквівалентності розроблено метод розв'язування матричних поліноміальних рівнянь типу Сильвестра. Досліджено структуру їхніх розв'язків. Виділено розв'язки обмежених степенів і наведено умови єдиності цих розв'язків. Запропоновано метод побудови розв'язків матричних рівнянь Сильвестра над адекватними кільцями, а також встановлено критерії єдиності розв'язків певного вигляду. Встановлено умови існування розв'язку матричного рівняння Сильвестра у кільцях трикутних та блочно-трикутних матриць над комутативною областю головних ідеалів.

Подано інформацію, що поєднує класичні методи розв'язання задач лінійної та векторної алгебри, аналітичної геометрії та математичного пакета Mathcad. Коротко описано можливості програмного пакета Mathcad. Наведено приклади розв'язання типових задач.

Запропоновано алгоритми розв'язання лінійних рівнянь і систем таких рівнянь в асоціативних некомутативних кільцях з одиницею за умови, що всі коефіцієнти в рівняннях є дільниками одиниці. Наведено основні поняття теорії кілець і приклади роботи запропонованих алгоритмів. Складність роботи алгоритмів залежить від властивостей елементів кільця, над яким розглядаються рівняння та системи рівнянь.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.391 + В152.2

Рубрики:

Півгрупи

Лінійна алгебра

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Знайдено рекурентні співвідношення для рядів Пуанкаре алгебр спільних інваріантів n лінійних форм, алгебр спільних коваріантів n лінійних форм, алгебр спільних інваріантів n квадратичних форм та алгебр спільних коваріантів n квадратичних форм.

Розглянуто матричне числення, теорію лінійних систем, алгебру многочленів, теорію скінченновимірних векторних просторів, лінійних операторів та квадратичних форм, а також елементи загальної алгебри. Усі ці складові тісно пов'язані між собою. Через весь курс лінійної алгебри проходить поняття лінійного векторного простору та лінійного перетворення. Розглянуто різні моделі лінійних просторів: числові векторні простори використовуються при вивченні систем лінійних рівнянь. Розглянуто геометричні інтерпретації алгебраїчних понять. Вивчено лінійні векторні простори, елементами яких є матриці, лінійні оператори, многочлени. Для частини понять введено аксіоматичні означення. Ідеї та методи лінійної алгебри є потужним апаратом дослідження для цілого ряду математичних та прикладних наук.

Подано такі точні методи розв'язування систем лінійних алгебричних рівнянь, як метод підстановки, метод виключення невідомих, в тому числі і метод Гаусса та метод Крамера. Розглянуті задачі згруповано здебільшого за методами розв'язування. Наведено приклади розв'язання не лише основних типових задач, а також деяких нетрадиційних. Розглянуто також багато задач з параметрами та модулями, підібрано великий різновид вправ для самостійного розв'язання, до яких подано відповіді.

Розглянуто теорію узагальнених обернених матриць над тілом кватерніонів. Побудовано визначникові зображення кватерніонових псевдообернених матриць Мура-Пенроуза, Дразіна, та їх зважених, використовуючи некомутативні рядкові і стовпцеві визначники, теорія яких була розроблена автором. Отримано визначникові зображення кватерніонової серцевинної оберненої матриці та її узагальнень. Побудовано аналоги правила Крамера кватерніонових узагальненого матричного рівнянім Сильвестра та системи двосторонніх матричних рівнянь, усіх їх часткових випадків, та особливих випадків з *-ермітовістю і η-ермітовістю. Побудовані аналоги правила Крамера псевдообернених розв'язків Дразіна, зважених Мура-Пенроуза та Дразіна двостороннього матричного рівняння з відповідними обмеженнями. Одержані визначникові зображення розв'язків деяких кватерніонових сингулярних диференціальних матричних рівнянь та задач матричної мінімізації.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.24 + В161.519.9

Рубрики:

Лінійні, полілінійні, квадратичні форми

Окремі класи аналітичних функцій

Шифр НБУВ: Ж41243 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.23

Рубрики:

Лінійні перетворення та матриці

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Встановлено умови існування розв'язку матричного рівняння AX - YB = C із блочно-трикутними коефіцієнтами A, B і C у кільці блочно-трикутних матриць над комутативною областю головних ідеалів.

Неприводимые полиномы находят широкое применение в различных областях науки и техники. Несмотря на большую востребованность синтез неприводимых полиномов до настоящего времени представляет собой достаточно сложную задачу и, как отмечено В. Жельниковым, "нахождение неприводимых полиномов до сих пор покрыто мраком. Криптографические службы высокоразвитых стран работали и работают над поиском многочленов как можно более высокой степени, но свои результаты они почти не освещают в открытой печати". Известные алгоритмы синтеза неприводимых полиномов обладают существенным недостатком, который состоит в том, что их вычислительная сложность является, как правило, квадратической. Следовательно, построение полиномов больших степеней может быть реализовано лишь на вычислительных комплексах весьма высокой производительности. Предлагаемый алгоритм опирается на так называемые реперные сетки (лестницы), число ступенек в которых совпадает со степенью синтезируемых полиномов. На каждой ступеньке лестницы осуществляются простейшие рекуррентные однотипные модулярные вычисления, по завершении которых тестируемый полином однозначно классифицируется или как неприводимый, или как составной. Разработанный алгоритм относится к подклассу алгоритмов линейной сложности. Суть рекуррентных операций на множестве двоичных полиномов сводится к вычислению остатков по модулю тестируемого на неприводимость полинома, представленного в векторной форме (набором бинарных коэффициентов полинома), от квадрата вычета, образованного на предыдущей ступеньке преобразования и дополненного справа нулем. Если верхняя (пороговая) степень синтезируемых полиномов не велика, например, не превышает двух десятков, то формирование множества тестируемых полиномов может осуществляться методом полного перебора. В том случае, когда степень полинома превышает пороговое значение, то их генерацию удобнее реализовывать статистическим моделированием. Кратко изложен алгоритм синтеза неприводимых полиномов над простым полем Галуа характеристики.

Розв’язано задачу класифікації пари взаємоанулюючих операторів, описано їх канонічні форми у явній формі та наведено алгоритм зведення до них. Одержане нове доведення критерію самоконгруентності за допомогою матриці з визначником один, використовуючи канонічні матриці. Побудовано нові критерії унітарної подібності для певного класу матриць: матриць Тьопліца, одноклітинних матриць, верхньотрикутних матриць у загальному положенні та нормальних матриць. Запропоновано алгоритм розв’язку проблеми одночасної еквівалентності пар матриць відносно подібності та конгруентності. Наведено алгоритм, який для кожної пари кососиметричних матриць будує її регуляційний розклад.

Розглянуто матричні зображення стандартних наднапівгруп напівгрупи, породженої двома взаємно анульовними ідемпотентними елементами. Для єдиної такої наднапівгрупи скінченного зображувального типу описано їх алгебру Ауслендера.