Збірник виданий з метою допомогти в оволодінні алгоритмами розв'язання задач з диференціальних рівнянь і теорії функції і комплексної змінної. Кожен розділ розпочинається вступом, у якому викладено основні математичні поняття. Охоплено такі розділи: інтегровані типи рівнянь першого і вищих порядків, систем зі сталими коефіцієнтами та елементи теорії стійкості, рівняння з частинними похідними 1-го порядку, комплексні числа, функції комплексної змінної, інтегральна формула Коші та її наслідки, ряди Лорана, лишки і їх застосування. Наведені задачі з різних розділів фізики, які приводять до складання диференціальних рівнянь.

Наведені основи теорії диференціального числення функцій багатьох змінних (диференціювання складної функції, скалярне поле, екстремум функції двох змінних) та математичних методів розв'язання звичайних диференціальних рівнянь (диференціальні рівняння першого та другого порядку). Подано варіанти індивідуальних завдань.

Запропоновано системи звичайних диференціальних рівнянь, а також методи інтегрування їх окремих типів. Висвітлено особливості розв'язання лінійного неоднорідного рівняння. Наведено метод Ейлера, а також методи інтегрування лінійних однорідних систем зі сталими коефіцієнтами, послідовних наближень для рівняння Фредгольма, варіації довільних сталих. Розглянуто засади теорії стійкості за Ляпуновим, а також класифікацію лінійних рівнянь.

Предложены системы обычных дифференциальных уравнений, а также методы интегрирования их отдельных типов. Освещены особенности решения линейного неоднородного уравнения. Приведены метод Эйлера, а также методы интегрирования линейных однородных систем с постоянными коэффициентами, последовательных приближений для уравнения Фредгольма, вариации произвольных постоянных. Рассмотрены основы теории устойчивости по Ляпунову, а также классификация линейных уравнений.

Висвітлено основи теорії диференційних рівнянь. Значну увагу приділено методам інтегрування звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. Описано елементи матричного числення. Розглянуто побудову асимптотичного розв'язку системи лінійних диференціальних рівнянь у загальному випадку.

Освещены основы теории дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделено методам интегрирования обычных дифференциальных уравнений и их систем. Описаны элементы матричного исчисления. Рассмотрено построение асимптотического решения системы линейных дифференциальных уравнений в общем случае.

Розглянуто питання використання диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язаних і нерозв'язаних відносно похідної, у математичному моделюванні. Описано загальні властивості лінійних однорідних диференціальних рівнянь n-го порядку, наведено формулу Остроградського - Ліувілля, матричний метод інтегрування однорідних стаціонарних систем. Визначено елементи варіаційного числення, а також достатні умови екстремуму функціоналів.

Рассмотрены вопросы использования дифференциальных уравнений первого порядка, решенных и нерешенных относительно производной, в математическом моделировании. Описаны общие свойства линейных однородных дифференциальных уравнений n-порядка, приведены формула Остроградского - Лиувилля, матричный метод интегрирования однородных стационарных систем. Определены элементы вариационного счисления, а также достаточные условия экстремума функционалов.

Приведены сведения по теории дифференциальных уравнений (ДУ), являющейся мощным математическим аппаратом в исследованиях различных процессов, протекающих в природе. Описаны методы решения ДУ высших порядков, рассмотрено решение уравнения Бесселя с помощью теории рядов. Изложены основные способы нахождения решения ДУ с постоянными коэффициентами. Раскрыто содержание понятия устойчивости по Ляпунову.

Розглянуто властивості неперервних багатозначних відображень і абсолютно неперервних функцій, наведено основні відомості з аналізу диференціальних включень. Висвітлено теорії диференціальних рівнянь з розривною правою частиною й імпульсним впливом. Проаналізовано проблеми оптимізації динамічних структурно заданих систем, описано метод структурно-параметричної оптимізації у задачах оптимального керування, обгрунтовано вибір оптимальної структури динамічної системи.

Рассмотрены свойства непрерывных многозначных отображений и абсолютно непрерывных функций, приведены основные сведения об анализе дифференциальных включений. Освещены теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и импульсным влиянием. Проанализированы проблемы оптимизации динамических структурно заданных систем, описан метод структурно-параметрической оптимизации в задачах оптимального управления, обоснован выбор оптимальной структуры динамической системы.

Наведено відомості про історію розвитку теорії операційного числення та формування її строгого математичного обгрунтування у працях вітчизняних і зарубіжних учених. Розглянуто перетворення Фур'є та Лапласа, визначено їх властивості і показано можливості застосування для розв'язання задач математичної фізики, а також лінійних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з запізнювальним аргументом, лінійних рівнянь типу згортки та деяких інтегродиференціальних рівнянь.

Представлены сведения об истории развития теории операционного исчисления и формирования ее строгого математического обоснования в трудах отечественных и зарубежных ученых. Рассмотрены преобразования Фурье и Лапласа, определены их свойства и показаны возможности применения для решения краевых задач математической физики, а также линейных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с опаздывающим аргументом, линейных уравнений типа свертки и некоторых интегродифференциальных уравнений.

Викладено спеціальні розділи математики, призначені для дослідження систем управління. Наведено відомості про числові матриці та дії над ними, лінійний векторний простір і функції квадратних матриць. Розкрито суть поняття стійкості систем керування, розглянуто перетворення Фур'є та Лапласа.

Изложены специальные разделы математики, предназначенные для исследования систем управления. Приведены сведения о числовых матрицах и действиях над ними, линейное векторное пространство и функции квадратных матриц. Раскрыта сущность понятия устойчивости систем управления, рассмотрены преобразования Фурье и Лапласа.

Розглянуто основні типи диференціальних рівнянь, що допускають аналітичний розв'язок, варіаційне числення, рівняння в частинних похідних, стійкість. Висвітлено питання аналізу основних властивостей розв'язків диференціальних рівнянь. Увагу приділено застосуванню наближених методів розв'язання диференціальних рівнянь під час дослідження важливих технічних прикладних проблем. Чисельні методи розв'язування диференціальних рівнянь показано на прикладах у середовищі MATLAB.

Розглянуто загальні властивості диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами другого порядку, метод розв'язання за допомогою узагальнених степеневих рядів, основні результати з теорії коливань, крайову задачу диференціальних рівнянь другого порядку та її розв'язок, одержаний за допомогою функції Гріна. Окрему увагу приділено рівнянням Бесселя. Висвітлено динаміку розв'язання рівнянь коливного типу зі сталими та змінними коефіцієнтами. Наведено основні поняття й теореми стійкості руху, класифікацію особливих точок на площині й методи побудови фазових портретів окремих точок. Доведено основні теореми другого методу Ляпунова та алгоритми побудови функцій. Подано основні результати з операційного числення та його використання для знаходження розв'язків задачі Коші лінійних диференціальних рівнянь і їх систем. Розглянуто також лінійні диференціальні рівняння у частинних похідних, основи варіаційного числення, необхідні для розуміння теорії керування.

Висвітлено основні ідеї, алгоритми та методи теорії звичайних диференціальних рівнянь. Описано диференціальні рівняння першого та n-го порядків. Надано основні відомості про системи диференціальних рівнянь, розглянуто задачі, що зводяться до них. Приділено увагу елементам математичної теорії стійкості та дослідженням нелінійної системи диференціальних рівнянь спеціального вигляду. Наведено способи розв'язування диференціальних рівнянь.

Викладено теоретичний матеріал з розділів "Диференціальні рівняння" та "Ряди". Посібник містить доведення всіх необхідних теорем, передбачених робочою програмою з математичного аналізу стосовно розглянутих тем, а також задачі, рекомендовані для розв'язання в аудиторії, та домашні завдання. До кожної теми запропоновано варіанти контрольних завдань.

Наведено основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Розглянуто звичайні диференціальні рівняння 1-го та вищих порядків, системи диференціальних рівнянь, крайові задачі, метод Фур'є відокремлення змінних. Увагу приділено розв'язуванню задач Коші та мішаних задач для параболічних рівнянь, крайових задач для рівнянь еліптичного типу.

Розроблено 16 практичних занять, які будуються на поєднанні традиційних і комп'ютерних методів і форм навчання й орієнтовані на розв'язування задач, що забезпечують наступність між практичними, лабораторними та лекційними заняттями на основі внутрішніх і міждисциплінарних логічних зв'язків. Подано інформацію про математичні моделі на основі диференціальних рівнянь, диференціальні рівняння вищих порядків, рівняння Бернуллі. Наведено метод варіації довільних сталих розв'язування лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь 2-го порядку.

Розглянуто диференціальні рівняння, рівняння з частинними похідними, основи теорії стійкості та варіаційного числення. Подано інформацію про диференціальні рівняння закону попиту та пропозиції, властивості лінійного диференціального оператора, функцію Гріна, метод варіації довільної сталої. Розкрито особливості застосування диференціальних рівнянь в екології, економічних дослідженнях. Увагу приділено геометричній інтерпретації умов стійкості, частинним випадкам рівняння Ейлера, умовам трансверсальності.

Все основные вопросы изложены с доказательствами. Приведено большое количество примеров, охватывающих все типы заданий, изучаемых на практических занятиях. Рассмотрено много задач на приложения в геометрии, механике, физике, технике, химии.

Розглянуто методи інтегрування диференціальних рівнянь. Викладено основні питання з теорії. Наведено рівняння для самостійного розв'язку та питання для самоконтролю.

Висітлено основні питання якісної теорії диференціальних рівнянь, зокрема, пошуку та дослідження особливих точок і розв'язків звичайних диференціальних рівнянь і систем. Розглянуто елементи теорії стійкості зазначених розв'язків, методи застосування операційного числення до розв'язання диференціальних рівнянь і систем. Увагу приділено поняттю асимптотичної стійкості таких рівнянь і систем.

Викладено основи теорії, основні практичні методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. Розглянуто низку прикладів, у тому числі фізичного змісту. Подано інформацію про формулу Остроградського - Ліувілля, диференціальні рівняння Ейлера та Чебишова, метод варіації довільних сталих. Увагу приділено особливостям побудови загального розв'язку у випадку кратних характеристичних чисел. Розглянуто питання застосування лінійних диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами до дослідження коливних явищ.