Досліджено асимптотичні властивості розв'язків нелінійних диференціальних, різницевих та диферецніально-функціональних рівнянь у банаховому просторі. З'ясовано умови стійкності, нестійкості, істотної нестійкості, глобальних стійкості та нестійкості розв'язків диференціальних, різницевих і диференціально-функціональних рівнянь та запропоновано нові функціонально-аналітичні методи їх аналізу. Особливу увагу приділено новим теоремам про стійкість і нестійкість розв'язків еволюційних рівнянь за лінійним наближенням та їх дослідженню у випадку дійсного банахового простору.

Исследованы асимптотические свойства решений нелинейных дифференциальных, разностных и дифференциально-функциональных уравнений в банаховом пространстве. Определены условия устойчивости, неустойчивости, существенной неустойчивости, глобальных устойчивости и неустойчивости решений дифференциальных, разностных и дифференциально-функциональных уравнений и предложены новые функционально-аналитические методы их анализа. Особое внимание уделено новым теоремам об устойчивости и неустойчивости решений эволюционных уравнений с линейным приближением и их исследованиям при условиях действительного банахового пространства.

Розроблено теорію практичної стійкості диференціальних включень. До наукового обігу введено клас просторово рівномірних багатозначних відображень і проаналізовано його властивості. Запропоновано визначення трубки напівнеперервного зверху компактозначного відображення. Показано, що для неперервного просторово рівномірного відображення трубка складається з точок, що лежать на межі його образу. Означено чотири види практичної стійкості диференціального включення: внутрішню сильну та слабку та зовнішню сильну та слабку. Досліджено властивості максимальної за включенням множини початкових умов кожного з зазначених видів стійкості. Доведено теореми про умови належності до межі максимальної за включенням множини, встановлено її неперервну залежність від часового проміжку та фазових обмежень. Розроблено алгоритми обчислення оптимальних множин початкових умов, числові методи знаходження оптимальних оцінок початкових умов, фазових обмежень, правої частини, часу практичної стійкості у разі лінійних диференціальних включень. Для різних класів систем (динамічних, за постійно діючих збурень, з імпульсним впливом, множинних динамічних) визначено властивості максимальної за включенням множини практичної стійкості. Проведено апробацію розроблених методів під час розв'язання прикладних задач.

Досліджено асимптотичні властивості розв'язків сингулярних диференціальних рівнянь першого порядку, не розв'язних відносно похідної. Розглянуто сингулярні задачі Коші для рівнянь загального вигляду. Побудовано асимптотики розв'язків, доведено існування непорожньої множини неперервно диференційованих розв'язків з потрібними асимптотичними властивостями, визначено кількість таких розв'язків з використанням методів якісної теорії диференціальних рівнянь і функціонального аналізу. Одержані твердження та методи дослідження можуть бути використані для вивчення конкретних диференціальних рівнянь, які виникають у нелінійному аналізі під час розв'язування задач, а також у загальній теорії звичайних і функціонально-диференціальних рівнянь.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

В дисертації встановлено необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості і е-дихотомічності з матричним проектором зліченних систем, досліджено питання існування і гладкості інваріантних тороїдальних многовидів зліченних систем з запізненням, теоретично обгрунтований і описаний алгоритм асимптотичного розкладу m-параметричної сім'ї розв'язків деяких класів квазілінійних систем диференціальних рівнянь, а також систем з запізненням.

З використанням функції Ляпунова квадратичного вигляду розглянуто системи диференціальних рівнянь з квадратичною правою частиною у критичних випадках одного нульового та пари чисто уявних власних чисел лінійної частини. Одержано конструктивні умови стійкості нульового розв'язку та оцінки області стійкості. Введено поняття "системи з слабким запізненням", тобто лінійної системи з післядією, яка має скінченну кількість власних чисел. Одержано необхідні та достатні умови "слабкого запізнення". Для систем з слабким запізненням загального вигляду на площині одержано розв'язок задачі Коші, а також для систем з слабким запізненням трикутного вигляду у тривимірному просторі. Визначено умови керованості системи на площині. Досліджено математичну модель взаємодії вузлів комп'ютерної мережі без оберненого та з оберненим зв'язками. Проведено лінеаризацію та записано розв'язок задачі Коші. Наведено оцінку впливу зовнішніх збурень і початкового стану системи на її функціонування.

Основні теореми прямого методу Ляпунова поширено на задачі стійкості за частиною змінних. За допомогою розривних кусково-диференційованих функцій Ляпунова одержано різні умови асимптотичної стійкості та нестійкості відносно частини змінних. Доведено теорему про рівномірну асимптотичну стійкість інваріантної множини імпульсної системи, установлено умови існування кусково-неперервної та кусково-диференційованої функції Ляпунова, яка задовольняє умовам цієї теореми. Визначено умови рівномірної асимптотичної стійкості інваріантних множин імпульсної системи зі збуренням. Для періодичних імпульсних систем з застосуванням розривних кусково-диференційованих функцій Ляпунова зі знакосталою похідною доведено теореми про асимптотичну стійкість і нестійкість за всіма змінними та за частиною змінних. Доведено теорему про існування кусково-неперервної функції Ляпунова, яка має похідну Діні та задовольняє умовам модифікованої теореми Гургули - Перестюка про рівномірну асимптотичну стійкість за всіма змінними.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.617.1,0

Рубрики:

Асимптотична поведінка розв'язків диференціальних рівнянь. Обмеженість. Стійкість

Шифр НБУВ: РА347311 Пошук видання у каталогах НБУВ 

З використанням методу істотно особливих функцій винайдено алгоритм побудови рівномірної асимптотики розв'язку сингулярно збуреного диференціального рівняння з псевдодифенціальною точкою звороту. Доведено теореми про асимптотику розв'язків сингулярно збурених диференціальних рівнянь третього та четвертого порядків з псевдодиференціальною точкою звороту для випадків стабільної, нестабільної та внутрішньої точок звороту.

Досліджено сильну та слабку стійкість (нестійкість) повністю та частково синхронізованих розв'язків систем зв'язаних відображень з неоднорідними матрицями зв'язків. Запропоновано й обгрунтовано три типи матриць зв'язків. Для кожного з них досліджено випадки кусково-лінійного та квадритичного базових відображень. Доведено існування повністю та частково синхронізованих розв'язків для розглянутих систем зв'язаних відображень. Одержано необхідні умови сильної та слабкої стійкості (нестійкості) повністю та частково синхронізованих розв'язків. Визначено залежність меж областей стійкості синхронізованих розв'язків від розмірності системи зв'язаних відображень. Для випадків наявності цієї залежності одержано аналітичні вирази для критичних значень розмірності.

  Скачати повний текст

Розроблено числово-асимптотичний метод розв'язання задачі оптимального керування системами з постійним, асимптотично великим, змінним запізненням та максимумом з застосуванням методу усереднення рівнянь керованого руху, а також одержано оцінку множин досяжності керованих систем з запізненням за допомогою відповідних диференціальних рівнянь з похідною Хукухари. Обгрунтовано метод усереднення для керованих диференціальних рівнянь з похідною Хукухари та запізненням, а також для квазідиференціальних рівнянь з запізненням у локально компактному метричному просторі. Одержано числово-асимптотичний метод розв'язання задачі оптимального керування в'язками траєкторій та числово-асимптотичний метод побудови оптимальних керувань для керованих процесів у локально-компактних метричних просторах.

Встановлено, що асимптотичні розвинення розв'язків даної системи рівнянь можна побудувати у вигляді подвійних рядів за дробовими степенями параметра та відношення незалежної змінної та параметра. Виведено відповідні рівняння розгалуження та проведено їх дослідження з використанням просторового аналога діаграм Ньютона. Розроблено алгоритм побудови лінійно незалежних формальних розв'язків однорідної системи. Вивчено питання щодо побудови частинного розв'язку неоднорідної системи у випадку резонансу.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Побудовано та вивчено градієнтні системи диференціальних рівнянь з імнульною дією в області євклідового простору. Описано поведінку траєкторій такої системи, знайдено достатні умови існування псевдозамкнених траєкторій у таких систем. Крім того, необхідні та достатні умови для того, щоб псевдозамкнені траєкторії були стійкими й асимптотично стійкими за Ляпуновим. Проведено вивчення динамічних систем з імпульсною дією на многовидах. Надано означення динамічних систем з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах. Побудовано градієнтні динамічні системи з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах. Досліджено умови існування псевдозамкнених траєкторій у таких систем. Встановлено необхідні та достатні умови стійкості й асимптотичної стійкості за Ляпуновим псевдозамкнених траєкторій у градієнтних динамічних систем з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах.

Доведено компактність оптимальних множин практичної сильної та слабкої стійкості дискретних включень, а також критерії належності точки до границі оптимальних множин. Побудовано опорну функцію, функцію деформації, функціонал Мінковського оптимальних множин практичної сильної та слабкої стійкості лінійних дискретних включень. Обгрунтовано підхід до апроксимації оптимальних множин практичної стійкості диференціальних включень, рівнянь з похідною Хукухари, нечітких диференціальних рівнянь з малим параметром. Доведено компактність максимальної множини практичної стабілізованості дискретних включень і дискретних систем керування та критерії належності точки до границі максимальної множини. Побудовано опорну функцію, функціонал Мінковського та функцію деформації оптимальних множин практичної стабілізованості лінійних дискретних систем керування та дискретних включень. Запропоновано алгоритм практичної стабілізації лінійної дискретної системи керування та лінійного дискретного включення.

Побудовано асимптотичне наближення для розв'язку еліптичної та параболічної неоднорідної крайової задачі Неймана зі швидко осцилюючими періодичними коефіцієнтами (ШОПК) у тонких перфорованих областях (ТПО) зі швидкозмінною товщиною та різними граничними розмірностями, доведено асимптотичну оцінку для похибки наближення у відповідних просторах Соболєва. Побудовано й обгрунтовано асимптотичні розвинення для розв'язку еліптичної та параболічної крайової задачі з ШОПК та однорідними крайовими умовами третього роду в ТПО зі швидкозмінною товщиною (за додаткових умов симетрії для тонкої перфорованої області та коефіцієнтів задачі). Доведено теорему збіжності для власних функцій і власних значень спектральної задачі Неймана з ШОПК у ТПО зі швидкозмінною товщиною та різними граничними розмірностями та доведено відповідні асимптотичні оцінки для таких збіжностей. Побудовано та обгрунтовано асимптотичні розвинення для власних значень і власних функцій спектральної задачі Неймана та спектральної задачі Діріхле з ШОПК у ТПО зі швидкозмінною товщиною та різними граничними розмірностями (за додаткових умов симетрії для тонкої перфорованої області та коефіцієнтів задачі).

Запропоновано та досліджено сім'ю матричних задач Рімана - Гільберта, що параметризуються двома скалярними функціями, які слугують аналогами коефіцієнтів відбиття і проходження початкових даних типу сходинки. Побудовано інтегральне зображення розв'язку модифікованого рівняння Кортевега - де Фріза через розв'язок сингулярного інтегрального рівняння, що еквівалентне розглядуваній матричній задачі Рімана - Гільберта. Побудовано явні асимптотичні формули для розв'язків модифікованого рівняння Кортевега - де Фріза, що є функціями типу сходинки за кожного значення часової змінної. Детально вивчено виникаючу у таких задачах хвилю стискання, і показано, що в залежності від параметрів задачі вона має вигляд модульованої еліптичної або гіпереліптичної функції, фази яких залежать від коефіцієнта відбиття початкової умови. Досліджено хвилю розрідження і знайдено її явне зображення у вигляді степеневої функції. Запропоновано механізм побудови фазових функцій і ланцюжки перетворень задач Рімана - Гільберта до модельних, за допомогою яких досліджено асимптотичну поведінку відповідної задачі Рімана - Гільберта і розв'язку модифікованого рівняння Кортевега - де Фріза типу сходинки в фазовій площині змінних x, t, за винятком околів переднього та заднього фронтів.