Досліджено вплив інтегрального члена в крайовій умові на коректність нелокальної крайової задачі для диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Висвітлено питання просторово-часової локалізації розв'язку задачі для одновимірного рівняння дифузії з сингулярним поглинанням; для загальної нелокальної параболічної задачі, задачу оптимального керування процесами, що описуються параболічними рівняннями порядку 2b. Запроваджено низку гібридних перетворень, породжених на кусково-однорідних інтервалах сполученням диференціальних операторів Фур'є, Бесселя та Лежандра. Встановлено коректну розв'язність розривної задачі Діріхле в просторах Lp для лінійних еліптичних рівнянь другого порядку при кусково-гладкій межі; достатні умови, які забезпечують повільне зростання функцій, що зображаються у вигляді інтервалів Стільтьєса; необхідні та достатні умови розв'язності початкової задачі для диференціального рівняння Пфаффа, що містять загаювання; існування, єдність та просторову локалізацію розв'язку задачі з вільною межею для нелінійного рівняння типу Емдена - Фаулера. Одержано точний аналітичний розв'язок нестаціонарної задачі теплопровідності для кусково-однорідного середовища з м'якими межами. Наведено достатні умови існування розв'язку системи диференціально-функціональних рівнянь з нелінійним відхиленням аргументу; структуру спектра одного гібридного диференціального оператора другого порядку; необхідні та достатні умови існування періодичних розв'язків одного нелінійного рівняння; достатні умови розв'язуваності задачі Коші для вироджених різницевих рівнянь у банаховому просторі.

Запропоновано нові методи дослідження крайових задач для рівнянь з частинними та дробовими похідними в ненормованому просторі узагальнених функцій D' на підставі вивчення структури даних функцій, спеціальних властивостей фундаментальних функцій та функцій Гріна. Розглянуто характер поведінки узагальненого розв'язку еліптичної крайової задачі за довільних степеневих особливостей правих частин. Розроблено наближений метод розв'язання прямих і деяких обернених узагальнених крайових задач.

Предложены новые методы исследования краевых задач для уравнений з частичными и дробовыми производными в ненормированном пространстве обобщенных функций D' на основании изучения структуры данных функций, специальных свойств фундаментальных функций и функций Грина. Рассмотрен характер поведения обобщенного решения элиптической краевой задачи при произвольных степеневых особенностях правых частей. Разработан приближенный метод решения прямых и некоторых обратимых обобщенных краевых задач.

Наведено розв'язання задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних параболічних систем, коефіцієнти яких мають степеневі особливості. Проаналізовано особливості побудови фундаментальних розв'язків еліптичних систем у просторах Діні. Описано властивості інтегралів типу еліптичних потенціалів. Доведено теорему локального існування нелінійної крайовоі задачі, з'ясовано поведінку функції Гріна.

Приведено решения задачи Коши и краевых задач для линейных и квазилинейных параболических систем, коэффициенты которых имеют степенные особенности. Проанализированы особенности построения фундаментальных решений элептических систем в пространствах Дини. Описаны свойства интегралов типа эллиптических потенциалов. Доказана теорема локального существования нелинейной краевой задачи, согласовано поведение функции Грина.

Ключ. слова: начально-краевые задачи, параболические уравнения, полудискретизация, неявный метод сеток, тейлор-чебышевские аппроксимации, алгоритм полиномиального ускорения
Індекс рубрикатора НБУВ: В161.62-3

Рубрики:

Диференціальні рівняння у частинних похідних

Шифр НБУВ: Ж14163 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто питання коректності та регулярності для одного класу нестаціонарних граничних задач із однією просторовою змінною та глобальними граничними умовами за часом. Установлено умови коректності задачі в класі обмежених диференційовних функцій, а також умови її регулярності.

На прикладах, які дозволяють отримати точні за порядком малого параметра апріорні оцінки розв'язків керованих крайових задач, з одного боку, обгрунтовано формальні асимптотики згаданої роботи, а з іншого боку, показано зародження асимптотик різних порядків та наведено алгоритм вибору найкращої з них.

Построена теория разрешимости краевых задач для уравнения Лапласа и бигармонического уравнения в полуплоскости с экстремальным условием на границе.

Для задачі оптимальної стабілізації процесу, що описується крайовою задачею для параболічного рівняння, побудовано і обгрунтовано наближене усереднене керування у формі оберненого зв'язку (синтезу).

На базі методу скінченних інтегральних перетворень з використанням теорії узагальнених функцій наведено спосіб розв'язування крайової задачі для диференціального рівняння у частинних похідних другого порядку з імпульсними коефіцієнтами та сингулярною правою частиною.

Вивчено регулярну еліптичну граничну задачу для однорідного диференціального рівняння в обмеженій області. Доведено, що оператор цієї задачі є фредгольмовим (нетеровим) у двобічній уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера - Волевіча - Панеяха. Встановлено апріорну оцінку розв'язку та досліджено його регулярність.

Розглянуто задачі оптимального осцилюючого керування для сингулярно збурених параболічних періодичних критичних крайових задач. У класі обмежених функцій побудовано й обгрунтовано асимптотики довільного порядку точності.

На рімановому багатовиді недодатної секційної кривини (багатовиді типу Картана - Адамара) розглянуто параболічне рівняння. Другу граничну задачу для нього задано в обмеженій області, поверхнею якої є гладкий підбагатовид. Доведено, що градієнт потенціалу простого шару для такої задачі має стрибок у разі переходу через підбагатовид подібно до його поведінки в евклідовому просторі.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Вивчено динамічні крайові задачі (ДКЗ) без початкових умов для еволюційних рівнянь і включень. Встановлено умови коректності ДКЗ без початкових умов для сильно нелінійних еліптичних рівнянь з крайовою умовою у вигляді еволюційного рівняння або еволюційної варіаційної нерівності. Вивчено коректність задачі без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних вироджених рівнянь. Встановлено умови існування та єдності розв'язку ДКЗ без початкових умов для лінійних і майже лінійних еліптико-параболічних рівнянь. Досліджено коректність ДКЗ без початкових умов для сильно нелінійних еліптико-параболічних рівнянь. Встановлено умови існування та єдності розв'язку задачі без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних субдиференціальних включень. Досліджено умови існування єдиності розв'язку ДКЗ без початкових умов для сильно нелінійних параболічних включень.

Розглянуто задачі з нелокальними умовами за виділеною змінною t та деякими крайовими умовами за іншими змінними для певних класів рівнянь і систем рівнянь з частинними похідними у циліндричних областях. Встановлено умови коректності та побудовано розв'язки таких задач для лінійних безтипних рівнянь і систем рівнянь зі сталими та змінними коефіцієнтами. Визначено умови однозначної розв'язності нелокальних задач для слабко нелінійних безтипних рівнянь з частинними похідними. Доведено нові метричні твердження про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час дослідження та побудови розв'язків розглядуваних задач.

Вперше сформульовано задачу визначення коефіцієнту дифузії виродженого параболічного рівняння за спостережень спеціального вигляду та доведено існування й єдиність розв'язку даної задачі. Вперше сформульовано задачу оцінювання функціоналу від крайових умов для сингулярного одновимірного параболічного рівняння під час спеціальних обмежень на невідомі параметри та другі моменти випадкових процесів під час спостережень за станом системи, який описується даним рівнянням. Доведено, що мінімаксні середньоквадратичні оцінки функціоналів і похибки оцінювання виражаються через системи деяких інтегро-диференціальних рівнянь, а мінімаксна середньоквадратична оцінка не залежить від конкретного вигляду функціоналу відповідно. Вперше знайдено мінімаксні середньоквадратичні оцінки функціоналів від розв'язків вироджених пара- і гіперболічних рівнянь під час спостережень спеціального вигляду за станом системи, що описується даними рівняннями, й обмеженнях спеціального вигляду на початково-крайові умови, параметри та другі моменти випадкових процесів.

Вивчено питання Г-збіжності й усереднення для інтегральних функціоналів, визначених на змінних вагових просторах Соболева, а також питання збіжності розв'язків деяких варіаційних задач для цих функціоналів. Встановлено умови збіжності глобальних мінімізантів і відповідних мінімальних значень функціоналів, визначених на змінних вагових соболевських просторах. Для послідовності інтегральних функціоналів, визначених на розглядуваних просторах, доведено теореми про Г-компактність. Для послідовності функціоналів, що мають основний інтегральний компонент і визначені на змінних вагових просторах Соболева, встановлено достатні умови збіжності мінімізантів і мінімальних значень варіаційних задач з деякими незалежними від параметра неявно заданими поточковими обмеженнями та варіаційних задач із залежними від параметра регулярними однобічними перешкодами. Встановлено умову на вагову функцію, що у випадку певної перфорації n-вимірних областей гарантує регулярну сильну зв'язаність відповідних вагових соболевських просторів з "граничним" ваговим простором Соболева. Доведено теорему про Г-збіжність послідовності інтегральних функціоналів, області визначення яких пов'язані з перфорованими областями періодичної структури, а інтегранти мають швидко коливний компонент і ваговий множник. Подано ефективне зображення для інтегранта Г-граничного функціонала, а також встановлено умови на вагову функцію, що забезпечують збіжність глобальних мінімізантів і відповідних мінімальних значень інтегральних функціоналів, які відрізняються від зазначених адитивними строго опуклими компонентами, незалежними від градієнтів функцій.