Розроблено ефективну методику Лі-алгебраїчної дискретної апроксимації для нелінійних еволюційних рівнянь у банаховому просторі. Побудовано збіжну апроксимацію і проаналізовано її стійкість. Запропоновано застосування багатовимірної форми інтерполяційних схем Лагранжа в зіркоподібних областях для Лі-алгебраїчної дискретної апроксимації лінійних і нелінійних диференціальних операторів.

Подано нелінійне узагальнення перетворення Гаусса для цілих функцій, визначених у сепарабельному гільбертовому просторі. Описано аналітичні властивості перетворення, знайдено множину нерухомих точок.

Одержані теореми про характеризацію класів функцій, найкращі наближення яких алгебраїчними поліномами мають заданий порядок прямування до нуля. Побудовані наближення розв'язків операторно-диференціальних рівнянь за допомогою поліномів від оберненого оператора.

Досліджується асимптотична поведінка розв'язку сингулярно збуреного квазілінійного абстрактного диференціального рівняння у банаховому просторі.

Побудовано асимптотику розв'язку задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи у випадку кратного спектра головного оператора.

На підставі теорії груп Лі отримано автомодельні змінні, функції і диференціальні рівняння, в тому числі загальне рівняння Блазіуса. Доведено, що форма загального звичайного диференціального рівняння визначається вибором параметричної змінної. Внаслідок використання властивості симетрії, загальне рівняння Блазіуса було редуковано до рівняння першого порядку, а також отримано два нових автомодельних розв'язки рівнянь Прандтля. Простежено засіб трансформації однопараметричної алгебри Лі рівнянь Прандтля, що містять чотири підалгебри, до алгебри Прандтля з трьома підалгебрами, одна з яких є двопараметричною.

Розглядаються дисипативні оператори і квазіаналітичні вектори, встановлюється зв'язок між квазіаналітичними векторами і максимальними дисипативними операторами. Для однорідного еволюційного рівняння в банаховому просторі встановлюються умови існування розв'язку, визначеного у всій комплексній площині.

В абстрактному гільбертовому просторі наведено побудову всієї множини поліноміальних інтерполянтів. В гільбертовому просторі з мірою знайдено інтерполяційний поліном з мінімальною нормою, розв'язано задачу знаходження найкращого наближеного значення лінійного неперервного функціонала на обмеженій опуклій множині операторних інтерполянтів. Розглянуто інтерпретацію цих результатів для функцій багатьох змінних. Досліджено оцінку точності інтерполяції.

На рімановому многовиді недодатної кривизни наведено конструкцію побудови фундаментального розв'язку параболічного рівняння.

Розглянуто мішану задачу для однієї системи псевдопараболічних рівнянь з виродженням у необмеженій (за просторовими змінними) області. Доведено існування та єдиність розв'язку даної задачі.

Представлено сучасні досягнення в галузі прикладної математики, що інтенсивно розвивається в Україні та за кордоном. Запропоновано новий підхід до теорії екстремальних задач для нелінійних операторних, диференціально-операторних рівнянь та включень, а також варіаційних нерівностей в банахових просторах. Наведено аксіоматичне вивчення нелінійних відображень (в т.ч. багатозначних), і в їх термінах встановлено властивості розв'язуючих операторів систем, які складаються з операторних та диференціально-операторних рівнянь. Визначено умови розв'язування та властивості розв'язків екстремальних задач, побудовано їх слабкі розширення і необхідні умови оптимальності у формі варіаційних нерівностей, розроблено методи регуляризації та обгрунтовано апроксимаційні схеми.

У просторах класичних функцій із степеневою вагою доведено існування і єдиність розв'язку нелокальної задачі Неймана для нерівномірно параболічних рівнянь без обмеження на степеневий порядок виродження коефіцієнтів. Знайдено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

Розглянуто умови збереження нерівності Като у випадку, коли замість оператора з скінченним числом змінних розглядається оператор з нескінченним числом відокремлюваних змінних. Отримана нерівність використовується для вивчення самоспряженості збуреного оператора з нескінченним числом відокремлюваних змінних та області визначення форм-суми вказаного оператора сингулярного потенціалу.

Наведено умови існування, єдиності та неперервної залежності від початкових даних розв'язків функціонально-диференціального рівняння нейтрального типу.

Доказывается критерий модульной ограниченности для плоской матричной задачи смешанного типа над дискретно нормированным кольцом и его телом частных.

Отримано достатні умови технічної стійкості розв'язків нелінійної крайової задачі, що описує розподілені параметричні процеси в гільбертовому просторі.

Пропонується схема вивчення коректності еквіваріантної задачі та спектра відповідного оператора.

Для операторно-диференціальних рівнянь у банаховому просторі наведено умови на початкові дані, необхідні й достатні для того, щоб задача Коші мала розв'язок у класі аналітичних, цілих або цілих експоненціального типу вектор-функцій. У випадку, коли операторно-диференціальне рівняння є системою диференціальних рівнянь з частинними похідними, отримана достатня умова співпадає з відомою теоремою Коші - Ковалевської про розв'язність задачі Коші в класі аналітичних функцій.

Полностью описываются неразложимые представления однопараметрических оснащенных частично упорядоченных множеств над парой (R, C).

Одержано формулу та оцінки для ядра Пуассона однієї крайової задачі в півпросторі, у рівняння і крайову умову якої входять диференціювання за нормальною змінною та псевдодиференціальні операції за дотичними змінними.