Для процесів на ланцюгах виникає необхідність відповідного матричного узагальнення факторизаційних тотожностей, встановлених для звичайних однорідних процесів з незалежними приростами; для напівмарковських випадкових процесів виникають ускладнення, обумовлені неоднорідністю за часом цих процесів. В обох випадках встановлюються основні факторизаційні тотожності, які мають двоїстий характер: в першому випадку для матричної кумулянти має місце права та ліва факторизація, в другому - для скалярної функції, що відповідає допоміжному неоднорідному процесу, одержано двоїстий розклад. Один з цих розкладів визначає розподіл максимуму цього процесу та розподіл його доповнення, другий - розподіл мінімуму процесу та його доповнення. При цьому розподіл максимуму неоднорідного процесу суттєво відрізняється від розподілу доповнення до мінімуму того ж процесу, розподіл мінімуму процесу так само відрізняється від розподілу до максимуму. На основі одержання факторизаційних розкладів встановлюється співвідношення для інтегральних перетворень розподілу таких функціоналів, як: екстремуми розглядуваних процесів, моменти їх виходу за додатний (від'ємний) рівень (в деяких випадках - моменти виходу процесу з обмеженого інтервалу), моменти першого досягнення екстремумів, час перебування процесу над фіксованим рівнем та інші граничні функціонали, які в прикладних задачах теорії ймовірностей мають специфічну інтерпретацію. Тому результати дослідження розподілу цих функціоналів мають не лише теоретичний інтерес.

Для випадкової функції, залежної від часу та точки простору з мірою, знайдено асимптотичний вираз міри області, в якій значення функції не перевищують заданого рівня.

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.504

Рубрики:

Граничні теореми для випадкових процесів

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.504,0 + В171.511,0

Рубрики:

Граничні теореми для випадкових процесів

Дифузійні процеси

Шифр НБУВ: Р110895 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Наведено результати дослідження розподілу межових функціоналів для однорідних процесів з незалежними приростами та для випадкових блукань. Проаналізовано зв'язок межових задач з вивчення розподілу багатьох функціоналів для випадкових процесів і блукань з задачами в теорії ризику й особливості застосування результатів теорії межових задач до вивчення ризикових характеристик в актуарній математиці.

Приведены результаты исследования распределения предельных функционалов для однородных процессов с независимыми приростами и для случайных блужданий. Проанализированы связь предельных задач по изучению распределения многих функционалов для случайных процессов и блужданий с задачами в теории риска, особенности применения результатов теории предельных задач к изучению рисковых характеристик в актуарной математике.

Досліджено граничні функціонали напівнеперервного процесу з незалежними приростами в інтервалі з двома відбиваючими межами. Одержано перехідні й ергодичні розподіли процесу, а також розподіли граничних функціоналів процесу: моменту першого досягнення верхньої (нижньої) межі, кількості відвідувань меж, кількості перетинів інтервалу, сумарного часу перебування процесу на межах і в інтервалі. Також наведено граничну теорему для ергодичного розподілу процесу й асимптотичні формули для середніх значень розподілів, що вивчаються.

Встановлено граничні теореми для інтегралів від дробових процесів та вивчено асимптотичну поведінку моментів таких інтегралів.

Доведено локальну граничну теорему для густини розподілу ймовірностей адитивного квадратичного функціоналу, заданого на траєкторіях комплексно-визначеного процесу Орнштейна - Уленбека в разі необмеженого розширення носія адитивного функціоналу. Надано гарантовану оцінку точності одержаної асимптотичної формули.

Доведено теорему про збіжність до виродженого закону розподілів інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.504

Рубрики:

Граничні теореми для випадкових процесів

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Для різницевих наближень багатовимірних дифузій доведено локальну граничну теорему зі зрізанням. За дуже слабких умов на розподіли різницевих членів ця теорема стверджує, що ймовірності переходу таких наближень після видалення певних доданків, якими в асимптотичному сенсі можна знехтувати, мають щільності, які рівномірно прямують до щільності ймовірності переходу граничної дифузії та задовольняють певні рівномірні оцінки дифузійного типу. Доведення базується на новому варіанті числення Маллявена для добутку скінченної сім'ї мір, які можуть містити нетривіальні сингулярні компоненти. Наведено застосування до рівномірного оцінювання коефіцієнта перемішування та швидкості збіжності для різницевих наближень стохастичних диференціальних рівнянь і до збіжності різницевих наближень локальних часів багатовимірних дифузій.

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.504

Рубрики:

Граничні теореми для випадкових процесів

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Отримано граничні теореми про поведінку відповідних інтегралів Хелінгера, які вказують умови вірності теорем про великі відхилення. Доведено теореми про великі відхилення для логарифма відношення правдоподібності в задачі розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями бернуллієвих послідовностей та процесами Гальтона - Ватсона з імміграцією. Досліджено поведінку ймовірностей помилок критерію Неймана - Пірсона, якщо теореми про великі відхилення для логарифма відношення правдоподібності у задачі розрізнення бернуллієвих послідовностей та процесів Гальтона - Ватсона з імміграцією вірні. Розглянуто взаємозв'язок між швидкостями спадання ймовірностей помилок 1 і 2-го роду та ризиків байєсових і мінімаксних критеріїв за умови виконання теореми про великі відхилення для логарифма відношення правдоподібностей.

Досліджено умови збіжності бакстерівських сум випадкових процесів і полів з метою застосування для оцінювання параметрів кореляційних функцій. Знайдено умови збіжності у середньому квадратичному і з імовірністю одиниця до детермінованої сталої бакстерівських сум для нелінійних функцій від приростів загального виду гауссових випадкових полів. Установлено умови збіжності з імовірністю одиниця до детермінованої сталої послідовності білінійних форм від приростів загального виду гауссового векторного випадкового поля. Досліджено збіжність у середньому квадратичному інтегральних сум для випадкових функцій бакстерівського типу. Визначено стохастичний інтеграл з диференціалом по векторному випадковому процесу бакстерівського типу. Установлено функціональну центральну межову теорему у просторі Скорохода функцій багатьох змінних для нормованих сум нелінійних функцій від приростів випадкових процесів і полів. Одержано сильно конзистентну оцінку параметра Хюрста дробового броунівського руху, а також побудовано інтервали надійності для цього параметра та доведено твердження про швидкість збіжності з імовірністю одиниця. Для певного класу гауссових однорідних випадкових полів на підчтаві бакстерівських статистик побудовано конзистентні оцінки параметрів кореляційних функцій та знайдено еліпсоїди надійності.

Досліджено кратні суми випадкових величин, для яких побудовано теорію, аналогічну до класичної теорії звичайних сум випадкових величин. Встановлено критерії збіжності розподілів кратних сум незалежних випадкових величин у схемі серій, з яких отримано критерії закону великих чисел. Вивчено збіжність майже напевно кратних рядів, для яких встановлено критерії збіжності. Досліджено обмеженість кратних сум незалежних випадкових величин і знайдено критерій обмеженості за ймовірністю. Розроблено методи доведення посиленого закону великих чисел для кратних сум випадкових величин і на їх основі отримано умови його виконання. Для незалежних однаково розподілених випадкових величин наведено критерії посиленого закону великих чисел для загального класу нормувань. Досліджено закон повторного логарифма для кратних сум зважених однаково розподілених випадкових величин. Визначено необхідні та достатні умови існування моментів супремума зважених кратних сум незалежних однаково розподілених випадкових величин. Вивчено повну збіжність кратних сум. Встановлено асимптотику процесу та функції відновлення, побудованих за випадковим блуканням з багатовимірним часом. Доведено можливість відновлення стаціонарних у широкому розумінні випадкових полів з обмеженим спектром за їх дискретними відліками.

Одержано результат, що встановлює збіжність функціоналів до неперервних адитивних функціоналів від процесів Маркова у термінах рівномірної або локальної збіжності їх математичних сподівань (характеристик) або мір, що з ними пов'язані. Доведено межові теореми, зокрема для випадків, коли порушується принцип інваріантності, відсутній локальний час у точці межового функціонала чи його характеристика розривна. Одержано рівномірну межову теорему про збіжність функціоналів з додатковими параметрами.

Вивчено стратегії інвестування та ймовірності банкрутства для деяких моделей процесу ризику страхових компаній, що займаються інвестиційною діяльністю у ризикові активи на фінансовому ринку. Побудовано оцінки ймовірності банкрутства та відповідні стратегії інвестування для біноміальної моделі процесу ризику страхової компанії, а також для моделі Крамера - Лундберга за можливості інвестування капіталу в один чи кілька видів акцій. Для змішаної моделі процесу ціни акції знайдено оцінки ймовірності банкрутства в задачі квантильного хеджування на повному та неповному фінансових ринках, доведено збіжність максимальної ймовірності успіху.

Доведено функціональні граничні теореми про збіжність стохастичних інтегралів по багатовимірних семімартингалах за умов будь-якого фіксованого розкладу таких семімартингалів на мартингал і процес обмеженої варіації. У багатовимірному випадку знайдено умови на інтегратори та підінтегральні процеси, що забезпечують слабку збіжність останніх за умови збіжності стохастичних інтегралів. Одержані функціональні граничні тeopeми застосовано для розв'язання задач фінансової математики, що стосуються граничної поведінки капіталів, платіжних зобов'язань та стратегій. Досліджено умови, що забезпечують збіжність послідовності капіталів та справедливих цін Європейських бар'єрних опціонів купівлі ''up-and-out" на узагальненому ринку Блека-Шоулса з випадковим зносом і волатильністю. Одержано рекурентне зображення стратегій, що мінімізують локальний квадратичний ризик в багатовимірний моделі фінансового ринку з дискретним часом. Досліджено граничну поведінку таких стратегій.

Изучены затухающие случайные эволюции в многомерных пространствax. Вычислены граничные распределения затухающих эволюций в некоторых полумарковских средах путем сведения многомерных случаев к одномерному.

Представлены исследования по теории стохастических уравнений. Рассмотрены уравнения Ито и уравнения, содержащие локальное время неизвестного процесса. Отмечено, что коеффициенты уравнений зависят от малого параметра. Исследована сходимость решений при стремлении параметра к нулю. При этом основой накладываемых предположений является отказ от существования поточечных пределов у коеффициентов уравнений. Более того, коеффициенты уравнения могут в отдельных точках вообще не иметь пределов или уходить на бесконечность. Приведены необходимые и достаточные условия сходимости решений для различных классов стохастических уравнений. Исследованы случаи изменения типов уравнений для предельных процессов относительно типа допредельных уравнений.