На основі апарату канонічних розкладень отримано алгоритм формування значень нелінійної випадкової послідовності. Цей алгоритм не накладає ніяких суттєвих обмежень на ймовірнісні властивості послідовності, що досліджується (лінійність, марковість, стаціонарність, монотонність тощо).

Для послідовності випадкових ламаних (ВЛ) введено поняття стійкої множини. Одержано достатні умови стійкості заданої множини для послідовності ВЛ.

Побудовано математичні моделі нестаціонарних випадкових функцій. Вивчено питання щодо їх застосування в задачах обробки даних. Проведено аналіз сучасного стану кореляційної теорії випадкових функцій та її застосувань. Сформульовано та розв'язано наукову задачу розробки єдиного підходу до опису нестаціонарності й одержання моделей нестаціонарних функцій, які мають широке коло застосувань. Наведено нові кількісні та функціональні характеристики нестаціонарності, які вірогідно описують характер відхилення випадкових функцій від стаціонарних. Реалізовано єдиний підхід до побудови кореляційної теорії нестаціонарних випадкових процесів і полів, який базується на зануренні випадкових функцій у відповідний гільбертів простір та дозволяє визначати випадковий процес (послідовність) явним способом, що суттєво спрощує процедуру моделювання нестаціонарних випадкових функцій. Запропоновані моделі нестаціонарних випадкових функцій використано для опису статистичних характеристик клину травлення, а також для інтерпретації даних, одержаних на декаметровому інтерферометрі УРАН-1.

Рассмотрены основы физико-математической теории гиперслучайных явлений, описывающей физические события, величины, процессы и поля в условиях нарушения статистической устойчивости. Освещены принципы познания мира. Дана информация о статистически неустойчивых последовательностях и процессах, гиперслучайных событиях, векторных гиперслучайных величинах, скалярных и векторных гиперслучайных функциях, марковских гиперслучайных процессах. Рассмотрены физические гипотезы и модели теории гиперслучайных явлений. Даны характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин. Приведена гиперслучайно-гиперслучайная модель измерения.

Освещена теория гиперслучайных явлений как новое направление теории вероятностей и математической статистики. Изложены математические основы новой теории и методы моделирования физических объектов с помощью гиперслучайных моделей, учитывающих изменения свойств и объектов, статистических условий их наблюдения.

Проанализированы известные способы представления гиперслучайных величин (ГСВ) и процессов на предмет целесообразности их применения при описании различных типов преобразований. Получен ряд соотношений между характеристиками и параметрами преобразованных и исходных ГСВ и процессов. Даны рекомендации по использованию различных способов представления скалярных и векторных ГСВ при линейных и нелинейных преобразованиях, а также гиперслучайных процессов при безинерционных и инерционных преобразованиях.

Систематизированы известные понятия и теоремы, касающиеся пределов. Для описания расходящихся последовательностей и функций введен ряд новых понятий и определений, в частности, понятия спектра предельных точек, сходимости к спектру предельных точек, функции и плотности распределения предельных точек, границ функции распределения и др. Основу предложенного подхода составляют методы теории гиперслучайных явлений.

Каждая физико-математическая теория основана на системе математических и физических аксиом. Математические аксиомы являются базой для построения математической теории. Возможности корректного применения этой теории для решения практических задач открывают физические гипотезы. Системы математических аксиом теории гиперслучайных явлений и классической теории вероятностей совпадают, а системы физических аксиом - существенно отличаются. Последнее обстоятельство предопределяет возможность получения с помощью новой теории результатов прикладного плана, которые не могут быть получены в рамках теории вероятностей. Реальная погрешность измерений зависит от статистической нестабильности измеряемой физической величины и статистической нестабильности условий проведения измерений. Такая погрешность хорошо описывается гиперслучайной моделью. Гиперслучайным характером погрешности можно объяснить многие факты, в частности, почему точность любых измерений ограничена, почему при использовании большого числа экспериментальных данных точность не зависит от их объема и др. Из теории гиперслучайных явлений вытекает, что существует горизонт познания. Он определяется диапазонами непредсказуемого изменения физических явлений и условий их наблюдения.

На основе теории гиперслучайных явлений разработаны принципы описания многозначных величин, последовательностей и функций. Известные для однозначных функций понятия, в частности, понятия сходимости, непрерывности, дифференцируемости, неопределенного и определенного интегралов, обобщены на случай многозначных функций. Установлена связь между многозначными и расходящимися функциями. Исследованы особенности трансформации однозначных функций в многозначные и, наоборот, многозначных функций в однозначные.

Рассмотрены особенности феномена статистической устойчивости и разработана методика исследования нарушений статистической устойчивости, в том числе при ограниченном объеме данных. Приведено описание множества экспериментальных исследований, посвященных изучению нарушений статистической устойчивости разнообразных процессов разной физической природы. Кратко изложены математические основы теории гиперслучайных явлений. Обобщены математические положения теории гиперслучайных явлений, сформированы основы математического анализа расходящихся и многозначных функций. Внимание уделено теоретическим и экспериментальным исследованиям статистических закономерностей при нарушениях статистической устойчивости.

Для физических процессов большой длительности предложена новая модификация методики измерения интервалов статистической устойчивости, обеспечивающая получение более точных оценок интервалов статистической устойчивости по отношению к среднему и среднеквадратическому отклонению. Преимущества новой модификации методики продемонстрированы на конкретном примере.

Представлена новая монография, посвященная исследованию физического феномена статистической устойчивости и сравнению двух теорий, описывающих его теории вероятностей и теории гиперслучайных явлений. Книга рассчитана на научных работников, инженеров и аспирантов, исследующих статистические закономерности реальных физических явлений, разрабатывающих и использующих статистические методы высокоточных измерений, прогнозирования и обработки сигналов на больших интервалах наблюдения, а также для студентов университетов физических, технических и математических специальностей.

Пороговая функция, обычно используемая для измерения интервала статистической устойчивости, не обеспечивает корректное разделение процессов на статистически устойчивые и статистически неустойчивые процессы. Предложен вариант оптимизации пороговой функции. Установлено, что использование на практике оптимизированной пороговой функции не всегда оправдано.

Являются ли теория вероятностей и теория гиперслучайных явлений математическими или физико-математическими теориями, зависит от того, что есть объект и предмет их исследования. Обращено внимание на то, что эти теории позволяют описывать не только массовые физические явления, но также и немассовые физические явления, представляемые многозначными математическими моделями с мерой или со множеством мер.