Метод регуляризації варіаційних нерівностей за допомогою оператора штрафу узагальнено на клас варіаційних нерівностей з багатозначними відображеннями.

Рассмотрены особенности применения одного из эффективных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, а также краевые задачи стойкости прямоугольных пластин со свободными краями, нагруженными сжимающими усилиями. Для известных и новых задач построены нелинейные трансцендентные уравнения стойкости. Анализ полученных результатов показал высокую эффективность и точность алгоритма МГЭ.

  Скачати повний текст

Доведено апроксимаційні теореми щодо дискретних лінійної та квадратичної спектральних задач стійкості пологих оболонок та задачі на власні значення гармонічних коливань пологих оболонок. Встановлено порядок швидкості збіжності власних значень і власних векторів лінійної спектральної задачі та квадратичної спектральної задачі стійкості пологих оболонок, а також порядок швидкості збіжності власних значень і власних векторів спектральної задачі гармонічних коливань пологих оболонок. Проведено числові розрахунки модельних задач, аналіз яких підтверджує теоретичні висновки.

Висвітлено ідею методу скінченних елементів, наведено стислі історичні відомості, описано недоліки класичного методу Рітца. Розглянуто метод скінченних елементів у задачі Діріхле, питання розв'язування систем скінченноелементних рівнянь за допомогою методу послідовної верхньої релаксації. Розкрито класифікацію скінченних елементів.

Освещена идея метода конечных элементов, приведены краткие исторические сведения, описаны недостатки классического метода Ритца. Рассмотрен метод конечных элементов в задаче Дирихле, вопросы решения систем конечноэлементных уравнений с помощью метода последовательной верхней релаксации. Раскрыта классификация конечных элементов.

Висвітлено теорію напружено-деформованого стану, метод скінченних елементів (МСЕ), особливості використання МСЕ для розрахунку стержнів і балок, використання ізопараметричних елементів. Наведено розрахунки за динамічних навантажень, методи аналізу нестаціонарних коливань у неідеально-пружних конструкціях, МСЕ у задачах теплопровідності. Розкрито поняття про метод суперелементів, наведено оцінку точності МСЕ тощо.

Освещена теория напряжённо-деформированного состояния, метод конечных элементов (МКЭ), особенности использования МКЭ для расчёта стержней и балок, использования изопараметрических элементов. Приведены расчёты при динамических нагрузках, методы анализа нестационарных колебаний у неидеально-упругих конструкциях, МКЭ у задачах теплопроводимости. Раскрыто понятие о методе суперэлементов, дана оценка точности МКЭ и др.

Побудовано та досліджено нові математичні моделі (для одно- та двовимірного випадків) стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в анізотропних областях складної конфігурації, які містять довільно орієнтовані в просторі тонкі включення/тріщини. Запропоновано нові класичні еквівалентні узагальнені задачі, які визначені на класах розривних функцій, в основних ортогональних системах координат (декартовій, циліндричній, полярній), доведено теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків отриманих задач. Розроблено високоточні обчислювальні алгоритми методу скінченних елементів (МСЕ) для числового розв'язування змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту та створено на їх основі ефективну діалогову систему автоматизованого розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах. Одержано оцінки похибок наближених розв'язків. Побудовано нову варіаційну задачу з єдиним узагальненим розв'язком про формування температурного поля у вузлі тертя. На основі об'єктно-орієнтованого програмування та розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів МСЕ створено та програмно реалізовано автоматизовану систему DIFUS діалогового моделювання задач з умовами спряження. За допомогою системи DIFUS розв'язано модельні приклади та практичні задачі.

The theorem about the structure of an approximate solution of the two-dimensional self-adjoint boundary-value problem of elliptic type in the optimal finite element method in the case of domains of polygonal form is formulated and proved. О. М. Lytvyn offered the method in 1970s for domains being the association of rectangles. We propose to use the G. M. Nielson formula for renewing a function of two variables on triangles.

Для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач вводится иерархический базис, связанный с сгущением сетки. Рассмотрены некоторые свойства этого базиса и переход от узлового к иерархическому базису в соответствующей системе линейных уравнений алгебраизма.

  Скачати повний текст

На базі методу Гальоркіна з урахуванням нових властивостей багаточленів Чебишева першого та другого роду показано можливість значного спрощення процедури наближеного аналізу та синтезу різних систем, описаних операторними рівняннями.

За допомогою методу скінченних елементів у разі використання спеціальної базисної системи фінітних функцій побудовано схему шостого порядку точності для задачі Штурма - Ліувіля. Одержано асимптотичні формули для похибки власних чисел як для нелінійної, так і для лінеаризованої схеми.

Наведено варіаційний підхід до розв'язування узагальненої задачі на власні значення з нелінійним входженням векторного спектрального параметра. Доведено еквівалентність спектральної задачі та поставленої їй у відповідність варіаційної задачі. В основу побудови числового алгоритму мінімізації функціонала, який становить собою квадрат норми нев'язки однорідного операторного рівняння, покладено ідею покоординатного спуску. Доведено релаксаційні властивості побудованого ітераційного процесу.

Для розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь методом скінченних елементів розглянуто узагальнений метод спряжених градієнтів з переобумовлюваною матрицею, що побудованою за допомогою матриці переходу для методу симетричної верхньої релаксації. Показано можливість двократного прискорення ітераційного алгоритму. Наведено числові результати аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу під час розв'язання двовимірних модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування з використанням класичного і модифікованого алгоритму методу спряжених градієнтів з переобумовлюваною матрицею методу симетричної верхньої релаксації.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.6 + В192.12

Рубрики:

Диференціальні рівняння

Варіаційні методи

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розроблено алгоритми обчислювального розв'язання варіаційних нерівностей як моделей односторонніх процесів на основі методу функціональної параметризації для негладких функціоналів відповідності або таких, що набувають значення нескінченності за рахунок субградієнтного та пароксимаційного підходів. Модифіковано схему методу перерізів розв'язання скінченноелементних моделей, що дозволяє скоротити запити накладної пам'яті у кількість разів, що приблизно дорівнює числу елементів у вихідній матриці вузлів. Запропоновано новий спосіб адаптивної генерації сітки дискретизації, який діє у поєднанні з алгоритмом відновлення невідомої функції перешкоди або односторонньої провідності. Розроблено алгоритм керування односторонніми процесами з "жорскими" односторонніми властивостями. Розв'язано задачу моделювання та керування процесом фільтрації нафти з граничним градієнтом тиску, який формалізовано у вигляді варіаційної нерівності з негладким функціоналом відповідності. Для моделювання даного процесу розроблено програмне забезпечення.

Для двопараметричної спектральної задачі в скінченновимірному дійсному гільбертовому просторі на основі градієнтної процедури запропоновано числовий метод знаходження її власних значень і власних векторів.

We study the dissipative case of the Zakharov system with periodic boundary conditions in the two-dimensional thin domain. We prove that this system has a unique strong solution. Our proof is based on the Galerkin method of approximations.

Розглянуто клас диференціально-операторних включень з відображенням псевдомонотонного типу, збуреного субдиференціалом власного опуклого напівнеперервного знизу функціонала. Доведено достатні умови розв'язності даних включень за допомогою методу Гальоркіна. В ході дослідження виведено апріорні оцінки для розв'язків.

The present paper is devoted to the application of the Galerkin method to solve the fracture mechanics problem for a linearly elastic, homogeneous, and isotropic solid with a plane crack under harmonic loading with allowance for the contact interaction of crack's adjoining faces. The corresponding systems of linear algebraic equations are obtained. The divergent integrals in the case of piecewise-linear shape functions are regularized.