Дисертація присвячена розвитку теорії поліноміальної операторної інтерпо- ляції в гільбертових та евклідових просторах. У скінченновимірному евклідовому просторі вирішено проблему знаходжен- ня розв’язків інтерполяційних задач Лагранжа та Ерміта в умовах недовизна- ченості. Знайдено умови інваріантної розв’язуваності та єдиності розв’язку цих задач. Досліджено збіжність інтерполяційних процесів та знайдено оцінки точності поліноміальної операторної інтерполяції Лагранжа в гільбертовому просторі з мірою у випадку збуреної вихідної інформації для поліноміальних та цілих опе- раторів. Знайдено кількість вузлів інтерполяції перевищення якої не покращує точності інтерполювання. Проведено аналіз точності інтерполяції поліноміаль- о них та цілих функціоналів, що визначені на просторах Ь2(0,1), 14^(0, п). Для поліноміальних та нелінійних операторів в гільбертовому просторі побу- довано інтерполянти Лагранжа, Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що є асимптотично точними на поліномах відповідного степеня. Досліджено точність інтерполяційних формул Лагранжа та Ерміта на ба- гаточленах відповідного степеня. Показано, що ці формули містять фундамен- тальні поліноми. У лінійному топологічному просторі для операторів однієї та багатьох змін- них знайдено умови існування континуальних вузлів для інтерполяційного по- ліному інтегрального вигляду. Розв’язано екстремальні задачі про знаходження операторних інтерполяцій¬них поліномів Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що мають мінімальну норму на мно¬жині інтерполянтів, які відповідають фіксованим інтерполяційним умовам. Знайдено нові критерії сумісності лінійної системи рівнянь та нерівностей, які пов’язані з умовами існування лінійного інтерполяційного полінома в евклі- дових просторах.

Розглянуто задачу оптимального лінійного оцінювання функціоналів від невідомих значень стохастичної стаціонарної послідовності за спостереженнями послідовності з пропущеними значеннями. Знайдено формули для обчислення значення середньокваратичної похибки та спектральної характеристики оптимальної лінійної оцінки функціоналів за умови спектральної визначеності, коли спектральна щільність послідовності є точно відомою. У випадку, коли спектральна щільність послідовності є точно не відомою, а задаються лише деякі класи допустимих спектральних щільностей, застосовано мінімаксно-робастний метод. Знайдено формули для визначення найменш сприятливих спектральних щільностей і мінімаксних спектральних характеристик для оптимального лінійного оцінювання функціоналів для конкретних класів спектральних щільностей.

Розглянуто інтерполяційну задачу Ерміта в Евклідовому просторі у випадку, коли задано значення функції багатьох змінних і значення її похідних Гато першого порядку у вузлах інтерполяції. Показано, що поставлена задача має єдиний розв'язок мінімальної норми у разі недовизначеності. Одержано умови інваріантної розв'язуваності та єдиності розв'язку задачі.

Розглянуто інтерполяційну задачу Ерміта в Евклідовому просторі у випадку, коли задано значення функції багатьох змінних і значення її диференціалів Гато першого та другого порядку у вузлах інтерполяції. Показано, що поставлена задача у скінченновимірному Евклідовому просторі має єдиний розв'язок мінімальної норми, породженої скалярним добутком із Гаусовою мірою. Одержано умови інваріантної розв'язуваності та єдиності розв'язку задачі.

Розглянуто інтерполяційну задачу Ерміта - Біркгофа для нелінійного оператора в Гільбертовому просторі. Для поставленої задачі доведено теорему про інтерполяційний поліном мінімальної норми, породженої скалярним добутком із Гаусовою мірою. Показано, що цей інтерполянт є єдиним.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.141

Рубрики:

Інтерполяція. Екстраполяція

Шифр НБУВ: Ж29144 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.141

Рубрики:

Інтерполяція. Екстраполяція

Шифр НБУВ: Ж72935 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Будується та досліджується інтегральний раціональний інтерполянт n-го порядку на континуальній множині вузлів, який є відношенням функціонального полінома першого степеня до функціонального полінома n-1-го степеня. Підінтегральні ядра визначаються з відповідних континуальних умов. При цьому одержуємо інтегральне рівняння для визначення ядра інтеграла чисельника. Це інтегральне рівняння елементарними перетвореннями зводиться до стандартного вигляду інтегрального рівняння Вольтерра другого роду. Підставляючи одержаний розв'язок у вирази для решти ядер одержуємо вирази для всіх ядер, що входять у інтегральний раціональний інтерполянт. Тоді для того, щоб раціональний функціонал n-го порядку був інтерполяційним на континуальних вузлах достатньо, щоб цей функціонал задовольняв правилу підстановки. Зауважимо, що одержаний інтерполянт є таким, що зберігає будь-який раціональний функціонал одержаного вигляду.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.141

Рубрики:

Інтерполяція. Екстраполяція

Шифр НБУВ: Ж28079/фіз.-мат. Пошук видання у каталогах НБУВ 

Викладено швидкий метод раціональної інтерполяції передавальної функції лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами, значення якої можуть бути знайдені чисельними методами або розрахунком трансцендентних функцій змінної інтегрального перетворення Лапласа. Метод дозволяє визначити в явному вигляді передавальну функцію і, зокрема, характеристичне рівняння такої міри, яка достатня для задоволення вимог точності при розрахунку кореневих критеріїв якості динаміки систем автоматичного управління. Мета роботи - відповідно до запропонованого методу раціональна інтерполяція зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь, порядок якої значно нижче (більш ніж удвічі) порядку аналогічних систем, що застосовуються для раціональної інтерполяції функцій відомими методами. Властивості цієї системи є такими, що її рішення може бути отримано спеціальними швидкими методами квадратичного порядку складності. Ітераційний алгоритм розрахунку коефіцієнтів передавальної функції лінійної динамічної системи з розподіленими параметрами проведено з використанням методів теорії функцій комплексної змінної з використанням дискретного перетворення Лапласа. Запропонований підхід дозволив значно прискорити розрахунки за допомогою декомпозиції системи лінійних рівнянь щодо коефіцієнтів передавальної функції до системи приблизно вдвічі меншого порядку, яка допускає швидке рішення методами Тренча, Берлекампа-Мессі або Евкліда. Розглянуто приклад практичного використання ітераційного алгоритму раціональної інтерполяції і обчислення із заданою точністю кореневих критеріїв якості динаміки опори з газової мастилом. Висновки: метод дозволяє явно визначити характеристичне рівняння такої міри, яка достатня для виконання вимог точності при обчисленні кореневих критеріїв якості динаміки систем автоматичного управління. Раціональна інтерполяція зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь, порядок якої набагато нижче (більш ніж в два рази) порядку аналогічних систем, використовуваних для раціональної інтерполяції функцій відомими методами. Властивості системи такі, що її рішення може бути отримано спеціальними швидкими методами квадратичного порядку складності.

Доведено нові властивості континуанти. Використовуючи взаємозв'язок між континуантою та ланцюговим дробом, одержано оцінку залишкового члена інтерполяційного ланцюгового дробу Тіле.

Запропоновано і розвинено методи розв’язання інтерполяційних задач аналізу, основані на використанні унітарних систем розсіювання, які природно пов’язані з даними задачі та її розв’язками. Також вирішено відповідні зворотні задачі. Розроблено узагальнення схеми Абстрактної Задачі Інтерполяції, що дозволяє вивчати задачі розв’язки яких не є аналітичними функціями (такі як задача Нехарі). Вивчено задачу про ліфтинг комутанту, кратний аналог умови Жюліа - Каратеодорі про кутову межову похідну та пов’язана з нею межова інтерполяційна задача у класі Шура, розширений клас Крейна-Лангера та задача Неванлінни - Піка в ньому. Для задачі про ліфтинг комутанту отримано параметризацію усіх символів заданого стиснення у самому загальному випадку, а також отримано повну характерізацію коефіцієнтів цієї параметризуючої формули. Ці результати є новими навіть для скалярної задачі Нехарі і дозволяють отримати нову характеризацію регулярних γ-твірних пар. Як застосування цих методів та результатів, розв’язано дві проблеми Д. Сарасона. У першій доведено що будь-яку γ-твірну функцію можна зробити регулярною шляхом множення на внутрішній множник. У другій побудовано клас сингулярних γ-твірних функцій, які мають властивість абсолютної неперервності. Цей клас дає контрприклади до гіпотези Д. Сарасона, яка твердила, що абсолютна неперервність тягне регулярність. Отримано кратний аналог класичної умови Жюліа - Каратеодорі щодо кутових межових похідних функцій класу Шура. Наведено низку умов, які є еквівалентними цій умові. Зокрема доведено, що кратна умова Жюліа - Каратеодорі є еквівалентною збіжності межових похідних зсередини і ззовні кругу при продовженні функції за симетрією. Вивчено розширений клас Крейна-Лангера, який містить не тільки мероморфні функції, але й функції зі стрибками. Показано що інтерполяційні задачі більш природно розв’язувати в цьому класі, ніж в класичному, таким чином вдається усунути ефект сторонніх розв’язків.

У лінійному нескінченновимірному просторі зі скалярним добутком і в скінченновимірному евклідовому просторі досліджено точність формули Лагранжа на поліномах відповідного степеня.

Експоненціальні двічі неперервно диференційовні B-сплайнові функції, що відомі з літератури як експоненціальні, застосовано для побудови методу колокацій для знаходження розв'язків рівняння Бюргерса. Ефект експоненціальних кубічних B-силайнів у методі колокацій знайдено за допомогою аналізу текстових задач.

Досліджено задачу інтерполяції функціонала інтегральним ланцюговим C-дробом, коли відомі його значення на континуальній множині вузлів. Знайдено необхідні та достатні умови її розв'язності. У частковому випадку такий інтегральний ланцюговий дріб містить у собі інтерполяційний ланцюговий C-дріб, що використовується для наближення функцій однієї змінної.

Для операторів, заданих в функціональних просторах, побудовано алгебраїчну інтерполяційну формулу ермітового типу. Інтерполяційну формулу аналогічного типу, що містить значення диференціала Гато довільного порядку, побудовано для операторів на множині матриць. Одержано матричні аналоги формули Лейбніца. Побудовано формулу наближеного обчислення диференціала Гато довільного порядку від функції матричного аргументу. На основі матричної інтерполяційної формули ермітового типу одержано наближений метод розв'язання задачі Коші для матрично-диференціального рівняння. Побудовано ілюстративний приклад наближеного розв'язування задачі Коші для матрично-диференціального рівняння першого порядку. Побудовано та досліджено параметричне сімейство тригонометричних матричних інтерполяційних многочленів Ерміта-Біркгофа.

Запропоновано метод формування одновимірних обводів виходячи з заданої точності інтерполяції. Максимальну абсолютну похибку інтерполяції визначено з урахуванням геометричних властивостей вихідної кривої лінії. Розглянуто два різновиди похибки. По-перше, похибка, з якою сформована дискретно представлена крива, що інтерполює вихідний точковий ряд, представляє вихідну криву. По-друге, похибка, з якою інтерполююча крива представляє будь-яку криву з заданими геометричними характеристиками.

Вирішено завдання візуалізації зворотним трасуванням (Ray Tracing) тріангульованих поверхонь (ТП), згладжених методом сферичної інтерполяції. Метод сферичної інтерполяції в основному був розроблений для інтерполяції ТП з подальшою метою візуалізації цієї поверхні методом зворотного трасування. Такий підхід надає можливість поєднати метод зворотного трасування з накопиченою базою моделей із ТП. Метод сферичної інтерполяції є універсальним і надає можливість також будувати плоскі та просторові гладкі криві, проведені через довільно задані точки. Запропонований алгоритм інтерполяції заснований на простій алгебричній поверхні - сфері та не використовує алгебричні поліноми третього і більш високих ступенів. Наведено аналітичні співвідношення для реалізації кожного етапу побудови інтерполювальної поверхні цим методом. Для візуалізації інтерполювальної поверхні розроблено ітераційний алгоритм (ІТА) обчислення точки перетину проекційного променя з цією поверхнею. Запропонований ІТА має можливість широкого розпаралелювання обчислень. Розроблено алгоритм побудови точок інтерполювальної поверхні, крок якого збігається з кроком ітераційного процесу обчислень, що надає можливість виконувати алгоритм візуалізації та побудови точки поверхні за один прохід ІТА. Результати досліджень підтверджено моделюванням процесу візуалізації в пакеті Wolfram Mathematica. Таким чином, виконано рішення задачі суміщення нових методів побудови гладких геометричних форм ТП і методу зворотного трасування, що в цілому надасть можливість підвищити реалістичність синтезованих сцен у комп'ютерній графіці.

Побудовано алгебричну формулу типу Ерміта (ФТЕ) для операторів, визначених у функціональних просторах. Інтерполяційну формулу подібного виду, яка містить значення диференціалів Гато довільного порядку (ДГДП), побудовано на множині матриць. Отримано матрицю, аналогічну до формули Лейбніца. Сконструйовано формулу апроксимації ДГДП із матричними аргументами. На основі матричної інтерполяційної ФТЕ побудовано числовй метод для розв'язування задачі Коші (ЗК) для матрично-диференціального рівняння (МДР). Продемонстровано приклад числового розв'язування ЗК для МДР першого порядку. Побудовано та досліджено параметричне сімейство тригонометричних матричних інтерполяційних поліномів типу Ерміта - Біркгофа.

Розглянуто задачу інтерполяції функцій ланцюговими дробами та задачу розвинення функцій в ланцюгові дроби, а також задачу інтерполяції функціонала інтегральним ланцюговим С-дробом. Доведено нові оцінки для залишкових членів функціональних ланцюгових дробів комплексної змінної та інтерполяційних ланцюгових дробів дійсної змінної з поліноміальними елементами. Досліджено задачі наближення функцій інтерполяційним ланцюговим дробом Тіле та інтерполяційним ланцюговим С-дробом. Отримано оцінки залишкових членів інтерполяційних ланцюгових дробів функцій комплексної змінної, доведено збіжність інтерполяційних процесів. Розглянуто задачу інтерполяції функціонала, заданого на множині континуальних вузлів, інтегральним ланцюговим С-дробом. Отримано необхідні та достатні умови розв'язності розглядуваної задачі. Розглянуто теорію квазі-обернених інтерполяційних ланцюгових дробів типу Тіле та типу С-дробу. Отримано оцінки залишкових членів інтерполяційних ланцюгових дробів таких типів, доведено збіжності інтерполяційних процесів. Введено в розгляд новий тип обернених різниць -- обернені різниці 2-го типу, обгрунтовано їх властивості. Вперше досліджено функціональні інтерполяційні ланцюгові дроби типу Тіле та типу С-дробу. Доведено оцінки залишкових членів функціональних інтерполяційних ланцюгових дробів та збіжність інтерполяційних процесів. Введено в розгляд узагальнення обернених різниць -- обернені g-різниці та обернені g-різниці 2-го типу. Обгрунтовано властивості обернених g-різниць та обернених g-різниць 2-го типу. Отримано нові властивості обернених похідних Тіле, встановлено правила оберненого диференціювання за Тіле. Обгрунтовано рівноцінність різних способів розвинення функції в правильний ланцюговий С-дріб. Встановлено області збіжності розвинення деяких функцій в ланцюгові дроби, апріорні та апостеріорні оцінки. Вперше введено в розгляд обернені похідні 2-го типу та встановлено властивості такого типу обернених похідних, отримано формулу типу Тіле. Встановлено взаємозв'язки між оберненими похідними Тіле, оберненими похідними 2-го типу та звичайними похідними функції. Обгрунтовано можливість розвинення функції в квазі-обернений ланцюговий С-дріб, збіжність такого розвинення до функції, апостеріорні оцінки. Обгрунтовано нові поняття -- обернена g-похідної та обернена g--похідна 2-го типу, які вперше введено до розгляду. Доведено властивості обернених похідних та функціональні формули типу Тіле.