Побудовано прості апостеріорні оцінювачі похибки апроксимацій методу скінченних елементів, здатних надавати двосторонні оцінки похибок таких наближень до розв'язків еліптичних крайових задач. За допущення, що виконуються умова насиченості та підсилена нерівність Коші, показано існування нижньої та верхньої меж похибок. Наведено обчислюваний варіант двосторонніх оцінок, заснований на елементно визначених апостеріорних оцінювачах Діріхле та Неймана для знаходження нижньої та верхньої меж істинної похибки квадратичних серендипових апроксимацій. Особливості, обчислювані характеристики та порівняння цих оцінювачів з побудованими раніше для лінійних і білінійних апроксимацій продемонстровано детальними результатами числових експериментів на прикладі сингулярно збуреної задачі з рівнянням дифузії - адвекції - реакції.

За допомогою методу відокремлення змінних побудовано розв'язок досліджуваної задачі з невідомим коефіцієнтом у диференціальному рівнянні. Вивчено властивості спектральної задачі для диференціального рівняння другого порядку з інволюцією. Досліджено залежність спектра оператора задачі та його кратності, а також структури системи кореневих функцій і часткових розв'язків задачі від інволютивної частини рівняння. Встановлено умови існування і єдиності розв'язку оберненої задачі. Для визначення шуканого коефіцієнта знайдено та розв'язано інтегральне рівняння Вольтерра другого роду.

Розглянуто питання побудови методу двобічних наближень знаходження додатного розв'язку задачі Діріхле для напівлінійного еліптичного рівняння на основі використання метода функцій Гріна. Об'єкт дослідження - перша крайова задача (задача Діріхле) для напівлінійного еліптичного рівняння другого порядку. Мета роботи - розробка на основі використання методу функцій Гріна методу двобічних наближень розв'язання задачі Діріхле для напівлінійних еліптичних рівнянь другого порядку і дослідження його роботи при розв'язанні тестових задач. За допомогою методу функцій Гріна вихідна перша крайова задача для напівлінійного еліптичного рівняння замінюється еквівалентним інтегральним рівнянням Гаммерштейна. Інтегральне рівняння подається у вигляді нелінійного операторного рівняння з гетеротонним оператором і розглядається у просторі неперервних функцій, який напівупорядковано за допомогою конуса невід'ємних функцій. За розв'язок (узагальнений) крайової задачі приймаємо розв'язок еквівалентного інтегрального рівняння. Для гетеротонного оператора знаходиться сильно інваріантний конусний відрізок, кінці якого є початковими наближеннями для двох ітераційних послідовностей. Перша з цих ітераційних послідовностей є монотонно зростаючою і наближає шуканий розв'язок крайової задачі знизу, а друга є монотонно спадною і наближає його зверху. Наведено умови існування єдиного додатного розв'язку розглядуваної задачі Діріхле та двобічної збіжності до нього послідовних наближень. Наведено загальні рекомендації з побудови сильно інваріантного конусного відрізка. Розроблений метод має просту обчислювальну реалізацію і зручну для використання на практиці апостеріорну оцінку похибки. Розроблений метод програмно реалізовано та досліджено при розв'язанні тестових задач. Результати обчислювального експерименту проілюстровано графічною та табличною інформаціями. Висновки: проведені експерименти підтвердили працездатність та ефективність розробленого метода і дозволяють рекомендувати його для використання на практиці при розв'язання задач математичного моделювання нелінійних процесів. Перспективи подальших досліджень можуть полягати у розробленні двобічних методів розв'язання задач для систем рівнянь з частинними похідними, рівнянь з частинними похідними вищих порядків та нестаціонарних багатовимірних задач, використовуючи напівдискретні методи (наприклад, метод прямих Роте).

Дисертаційна робота присвячена чисельному розв'язуванню плоских задач для еліптичниого рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами. Розглянуто крайові задачі Діріхле та Неймана в обмеженій однозв'язній області, мішані крайові задачі та задачу Коші у двозв'язній обмеженій області. Для розв'язування крайових задач Діріхле та Неймана, використовуючи поняття параметрикса та непрямий підхід інтегральних рівнянь, диференціальні задачі редуковано до систем гранично-просторових інтегральних рівнянь (ГПІР). Досліджено коректність отриманих систем. Через заміну змінних на основі гомотетичного стиснення граничної кривої області розв'язку одержано параметризовану систему ГПІР, яку повністю дискретизовано методом Нистрьома. Для мішаних крайових задач, подібно до задач Діріхле та Неймана, розв'язки подано у вигляді суми параметрикс-потенціалів простого шару й об'ємного параметрикс-потенціалу з невідомими густинами. Розглянуто випадки двозв'язних областей, що обмежені гомотетичними та негомотетичними кривими. Для чисельного розв'язування некоректної задачі Коші застосовано непрямий метод інтегральних рівнянь з регуляризацією Тіхонова, а також два ітераційні методи (альтернуючий метод і метод Ландвебера). Розглянуто алгоритми ітераційних методів і досліджено збіжність альтернуючого методу. Для всіх методів виконано чисельні експерименти, результати яких підтверджують теоретичні дослідження.

Поєднано ідеї методу фіктивних областей і гомотопії з метою зведення розв'язування багатовимірних рівнянь із частинними похідними в області довільної форми до експоненційно збіжної послідовності задач у паралелепіпеді (у прямокутнику для випадку 2D). Це надає можливість зменшити об'єм обчислювальної роботи за рахунок відсутності необхідності триангуляції області.

Знайдено наближені розв'язки задачі Коші для диференціально-операторного рівняння гіперболічного типу з виродженням у гільбертовому просторі. У термінах таких наближень надано характеристику класів Жевре невід'ємного самоспряженого оператора.

Розглянуто однорідну задачу Діріхле для системи напівлінійних еліптичних рівнянь. Для побудови двобічних наближень до додатного розв'язку цієї системи використано перехід до еквівалентної системи нелінійних інтегральних рівнянь (за допомогою квазіфункції Гріна - Рвачова) з подальшим її аналізом методами теорії напівупорядкованих просторів. Роботу та ефективність розробленого метода продемонстровано обчислювальним експериментом для тестової системи з експоненціальною нелінійністю.

Розглянуто наближене розв'язування параболічної задачі Коші у двовимірній двозв'язній області, яка виникає при розгляді різноманітних обернених задач. За допомогою теорії потенціалу задачу редуковано до системи некоректних гранично-часових інтегральних рівнянь. Чисельне розв'язування виконано методом квадратур з використанням регуляризації Тіхонова. Дієвість методу підтверджено наведеними результатами числових експериментів.

Для узагальнених розв'язків мішаних задач Діріхле та Неймана для однорідного хвильового рівняння з однорідними початковими умовами побудовано подання у вигляді рядів Фур'є - Лагерра. Вони отримані із потенціалів простого та подвійного шарів із запізненням за допомогою перетворення Лагерра. Встановлено умови на дані крайових умов, які гарантують збіжність розв'язків у відповідних вагових просторах Соболева. Коефіцієнти розвинень обчислюємо на основі розв'язків послідовностей граничних інтегральних рівнянь, які знаходимо методом граничних елементів (МГЕ). Встановлено асимптотичне оцінювання похибок чисельних розв'язків. Розроблено швидкий МГЕ на основі адаптивної крос-апроксимацїі матриць алгебричних систем. Результати серії обчислювальних експериментів підтверджують достовірність теоретичних досліджень та доводять ефективність розроблених методів.

Запропоновано модифікацію ДС-алгоритму для побудови числового розв'язку систем параболічних рівнянь другого порядку без мішаних похідних. Досліджено існування єдиного розв'язку системи різницевих рівнянь. Встановлено, що похибка апроксимації має другий порядок. Перевагою алгоритму перед неявними різницевими схемами є те, що на кожному часовому кроці не потрібно розв'язувати великі системи алгебричних рівнянь.

Разработан общий алгоритм исследования спектральной устойчивости обобщенных многостадийных методов Рунге - Кутта (МРК) разных порядков точности применительно к численному интегрированию по времени начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка. Выражение для функции спектральной устойчивости получено в двух альтернативных формах: на основе матричных соотношений и в детерминантном виде. Исследована конкретная реализация разных явных обобщенных МРК и их спектральная устойчивость. Показано, что все явные обобщенные МРК обладают условной спектральной устойчивостью и свойством условной монотонности численного решения по времени, нарушение которого приводит к возникновению ложных осцилляций приближенного решения. Функция устойчивости для этих методов является полиномиальной. Продемонстрировано, что в случае использования двухстадийных явных обобщенных МРК получаются схемы типа предиктор-корректор, а в случае задачи нестационарной одномерной теплопроводности на базе одностадийного обобщенного МРК получается условно устойчивая классическая двухслойная явная конечно-разностная схема на четырехточечном шаблоне. Выявлено, что из всех цсследованных явных обобщенных МРК наименее слабым условием спектральной устойчивости обладает пятистадийный обобщенный метод Рунге - Кутта - Мерсона.

Для загального випадку квазілінійних еліптичних рівнянь дивергентного виду доведено ітераційну лему. Як і у випадку оператора p-Лапласа, для якого подібна лема була вперше встановлена Kilpelainen і Maly, отриманий результат слугує основним інструментом для подальшого дослідження квазілінійних еліптичних рівнянь такого типу. За допомогою цієї леми доведено нерівність типу Гарнака для рівнянь, що розглядаються, в термінах нелінійних потенціалів Вольфа.

Для числового розв'язування крайових задач для нескінченних систем зі згортковою структурою, які складаються з еліптичних рівнянь другого порядку, запропоновано метод граничних елементів. Розв'язок надано за допомогою послідовності потенціалів простого шару. Для апроксимації невідомих густин потенціалів використано базис, який складається з кусково-сталих базисних функцій, побудованих на трикутних граничних елементах. Досліджено апріорні похибки. Наведено результати серії обчислювальних експериментів.

Досліджено розв'язність та особливості побудови чисельних методів для інтегро-диференціальних (параболічних, псевдопараболічних і -гіперболічних) та дробових диференціальних рівнянь у частинних похідних. Задачі розглянуто у слабкій постановці, що допускає праві частини з негативних соболєвських прострів. Теореми слабкої розв'язності для інтегро-диференціальних рівнянь одержано як наслідки апріорних нерівностей у негативних нормах. Ці нерівності доведено abc-методом, доопрацьованим з урахуванням особливостей цього типу рівнянь. Доведено слабку збіжність методу Гальоркіна для рівняння субдиузії і для інтегро-диференціальних рівнянь параболічного й псевдопараболічного типів. Виявлено результат, який покращує відомі теореми про гладкість слабкого розв'язку рівняння субдифузії. Для рівняння змінних порядків одержано теорему слабкої розв'язності у соболєвських просторах змінних порядків, а також побудовано метод Гальоркіна. Теоретичні результати проілюстровано результатами обчислювального експерименту.

Рассмотрены конкретные реализации разных неявных обобщенных методов Рунге - Кутта (МРК) применительно к численному интегрированию по времени начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и исследована их спектральная устойчивость. Показано, что все неявные обобщенные МРК безусловно спектрально устойчивы, но некоторые из них обладают свойством условной монотонности численного решения по времени. Функции спектральной устойчивости неявных обобщенных МРК являются рациональными. Проведено сравнение аналитического решения задачи нестационарной одномерной теплопроводности с ее численными решениями, полученными разными неявными обобщенными МРК. Продемонстрировано, что в этом случае применение одностадийных методов Радо с последующей дискретизацией задачи по пространственной переменной приводит к классической конечноразностной схеме с опережением (схеме Лаасонена), а использование одностадийного метода Гаусса - Лежандра - к шеститочечной симметричной схеме (схеме Кранка - Николсона). Показано, что диагонально неявные обобщенные методы Нёрсетта и Барриджа реализуются примерно так же, как и одностадийные методы Радо и Гаусса - Лежандра, но имеют точность по временному шагу на один - три порядка большую. На основе сопоставления численных и аналитических решений установлено, что для получения практически пригодных численных решений без каких-либо ограничений на шаг по времени целесообразно использовать одно- и трехстадийные обобщенные методы Радо или двух- и четырехстадийные методы Лобатто ШС. Все остальные явные и неявные обобщенные МРК требуют введения ограничений на шаг по времени.

Наведено огляд прямого методу граничних інтегральних рівнянь для числового розв'язування задачі Коші для рівняння Лапласа у двозв'язких областях; область розв'язування розміщена між двома замкненими граничними поверхнями (кривими у випадку двовимірних областей). Ця задача Коші полягає у знаходженні значень гармонічної функції та її нормальної похідної на одній із двох замкнених границь за інформацією про ці величини на іншій граничній поверхні. Це є некоректна задача, в якій шум у вхідних даних може призвести до непридатного обчисленого наближеного розв'язку. Описано і наведеено огляд регуляризуючого методу для стійкого визначення шуканих величин, грунтуючись на поданні розв'язку задачі Коші у форм: потенціалу простого шару. Таке подання призводить до системи граничних інтегральних рівнянь відносно двох невідомих густин. Встановлено існування і єдиність густин та запропоновано спосіб числової дискретизації у дво- та тривимірних областях. Також обговорено випадок однозв'язних областей та випадок необмежених областей. Наведено числові приклади для дво- та тривимірних областей, яки засвідчують, що запропонований підхід надає хорошу точність за економних обчислювальних затрат.

Досліджено крайові задачі Діріхле, Неймана та Робіна для нескінченних трикутних систем еліптичних рівнянь і розроблено ефективні чисельні методи для знаходження їх наближеного розв'язку. Для кожної задачі доведено існування та єдиність узагальненого розв'язку. За допомогою інтегрального подання розв'язків задачі зведено до еквівалентних послідовностей граничних інтегральних рівнянь, однозначно розв'язних у відповідних просторах Соболева. Для знаходження наближеного розв'язку розроблено метод граничних елементів, а також його модифікацію для задач у спеціальних областях з довільними включеннями. Доведено існування й єдиність наближеного розв'язку, а також його збіжність до точного розв'язку. Проведені чисельні експерименти підтверджують теоретичні оцінки похибок, стійкість та ефективність запропонованих методів.

Розглянуто обернену задачу на власні значення. Для числового розв'язування задачі застосовано метод хорд і метод лінійної інтерполяції (метод Курчатова). На відміну від методу Ньютона ці ітераційні процеси використовують лише значення оператора з 2-х попередніх ітерацій та не потребують аналітично заданих похідних. Запропоновані методи застосовано для розв'язування обернених задач на власні значення різного типу. Розглянуті ітераційні процеси порівняно з методом Ньютона за кількістю операцій, потрібних для обчислення першої поділеної різниці та похідної детермінанта.

The article presents the algorithm for solving nonlinear partial differential equations, that describe the process of air contamination. The algorithm is based on an appropriate modification of the grid method. Boundary conditions and border values are considered, and a difference scheme construction method is proposed. As a result, problem is degenerated in two-dimensional one, and reliable algorithms for its solution are developed and approved.

Розглянуто алгоритм розв’язання нелінійного рівняння з частинними похідними, який описує процес забруднення атмосфери. Алгоритм заснований на відповідній модифікації сіткового методу.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.2

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь з частинними похідними

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ