Удосконалено методики розв'язання крайових задач теорії пружності та її додатків до проблеми вивчення напружно-деформованого стану (НДС) кусково-однорідного анізотропного або ізотропного тіла та напівпростору з концентраторами напружень типу отворів і включень, у тому числі плоских (лінійних) тріщин, жорстких та пружних включень. Показано, що дані методики грунтуються на розв'язанні задач лінійного спряження для розрізів у багатозв'язній області або на використанні класичних комплексних потенціалів з вилученими особливостями у вершинах плоских концентраторів напружень і методу найменших квадратів. Зазначено, що у випадку напівпростору (напівплощини) до умов на плоскій границі застосовано метод інтегралів типу Коші. Наведено комбінований метод, який дозволяє розв'язувати задачі для будь-якої кількості, сполучення та розташування отворів, тріщин і включень. Встановлено, що даний метод включає у себе використання комплексних потенціалів з вилученими сингулярностями у вершинах плоских концентраторів напружень, використання методики числового знаходження коефіцієнтів інтенсивності напружень і дискретного методу найменших квадратів для визначення невідомих постійних, що входять до комплексних потенціалів. Розв'язано ряд нових практично важливих задач для анізотропного тіла та напівпростору, для кусково-однорідної ізотропної пластинки. Виявлено нові закономірності впливу на НДС геометричних форм і розмірів концентраторів напружень, їх кількості, взаємного розташування та сполучення, пружних властивостей матеріалів даних тіл-матриць і включень.

На основі одного з варіантів методу граничних інтегральних рівнянь (методу фіктивних навантажень) побудовано математичну модель періодичних змішаних задач для шару з періодичною системою порожнин у випадку дії на шар періодичної системи штампів. Досліджено вплив геометричних параметрів, а також граничних умов на нижній грані шару та під штампами, на напружений стан шару. Запропоновано спосіб постановки граничних умов і розв'язок задачі у випадку спирання шару без тертя на абсолютно жорстку основу. Розглянуто аперіодичну задачу та задачу зі зсувом штампів щодо порожнин.

Рассмотрены основные положения современной теории упругости. Раскрыты проблемы поиска и обоснования физических зависимостей, отражающих связь между напряженным и деформированным состоянием упругой среды в контексте их применения в решении задач о напряженно-деформированном состоянии упругих массивов. Уделено внимание методу аналогий, зависимостям объемного деформирования и чистого сдвига, оценке возможности независимого существования двух видов деформаций. На основе определения физических зависимостей для упругих массивов получены решения ряда задач, в частности, задач плоского деформирования бесконечно длинных упругих массивов конечной толщины с ограниченной и неограниченной шириной.

В дисертаційній роботі отримано основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності для квазіортотропного тіла. Квазіортотропним називають вироджений ортотропний матеріал, модуль зсуву якого пов’язаний з іншими характеристиками матеріалу певною залежністю, що призводить до кратних коренів характеристичного рівняння. Побудовано інтегральні зображення комплексних потенціалів напружень для квазіортотропної площини через стрибки переміщень на криволінійних контурах. Першу основну задачу для площини з тріщинами зведено до сингулярних інтегральних рівнянь на криволінійних контурах в допоміжній математичній площині комплексної змінної, що залежить від основного механічного параметра ортотропії (відношення основних модулів пружності матеріалу). Вперше виявлено аналогію між задачами теорії пружності для ізотропного та квазіортотропного тіл. Знайдено розв’язки задач на власні значення для квазіортотропного клина. Методом сингулярних інтегральних рівнянь побудовано аналогічні розв’язки для квазіортотропної площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом, з яких випливають залежності між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації напружень у гострій та закругленій вершинах кутового вирізу в квазіортотропній площині. Ці залежності для обмежених тіл мають асимптотичний характер. На цій основі розвинуто, аналогічно до відповідних задач для ізотропного тіла, єдиний підхід до визначення концентрації напружень біля закруглених та гострих вершин кутових вирізів. Цим підходом побудовано розв’язки крайових задач теорії пружності для квазіортотропної площини, послабленої фізичною щілиною або ромбічним отвором, а також двобічним кутовим вирізом з гострими та закругленими вершинами. Метод сингулярних інтегральних рівнянь використано також для побудови розв’язку першої основної задачі теорії пружності для квазіортотропної півплощини з періодичним криволінійним краєм, причому інтегральне рівняння отримано з періодичної системи криволінійних тріщин, що стикуються між собою.