Мета роботи - отримати аналітичний вираз для обчислення температури в точках багатошарової плити при умові неідеального теплового контакту між її шарами та представити його в зручному для чисельної реалізації вигляді. Дослідити вплив коефіцієнту теплового опору на розподіл температури в шарах плити. Методи дослідження. Для розв'язання поставленої задачі використано метод інтегральних перетворень (подвійне інтегральне перетворення Фур'є) та метод функцій податливості. Отримані результати. У вигляді невласних інтегралів Фур'є отримано формули для обчислення температури в будь-якій точці багатошарової плити. Чисельні результати проведено для тришарових плит, на зовнішніх поверхнях яких задано рівномірно розподілене по квадрату теплове навантаження (інтенсивність теплового навантаження на нижній межі в 10 разів більше, ніж на верхній). Отримано розподіли температури, які ілюструють вплив коефіцієнту теплового опору на розподіл температури в точках нижніх меж першого та другого шарів. Збільшення коефіцієнту теплового опору призводить до зменшення температури в точках зазначених меж. Запропонований метод може бути використаний для визначення розподілу температури в плитах з будь-якою скінченою кількістю шарів. Наукова новизна. Уперше методом функцій податливості розв'язано просторову задачу теплопровідності для шаруватої плити з неідеальним тепловим контактом між шарами. Раніше цим методом розв'язувались лише двовимірна та вісесиметрична задачі такого типу. Практична цінність. Отримані результати можуть бути використані в якості тестових при проведенні аналогічних розрахунків іншими методами. При проектуванні шаруватих конструкцій, опираючись на результати чисельних розрахунків, можна підбирати їх елементи з необхідними тепловими характеристиками.

Розв'язано тривимірну задачу динаміки пружної мембрани довільного граничного контуру з заданим поверхнево розподіленим зовнішньосиловим впливом на неї. Тривимірне поле пружних динамічних зміщень точок мембрани описується диференціальною моделлю, яка є виродженим випадком раніше побудованих рівнянь просторової теорії пружності щодо товстих пружних плит. Припускається, що останні доповнені інформацією про початково-граничний стан мембрани, яка у загальному випадку має не силовий характер, а її кількості недостатньо для математично коректної постановки початково-крайової задачі (ПКЗ). Розв'язання цих неповно визначених ПКЗ динаміки мембрани стало можливим після математичного моделювання наявних просторово-динамічних спостережень за початковим станом і поточною динамікою її контуру системою дискретно та неперервно визначених моделюючих функцій. Побудоване поле пружно-динамічних зміщень точок мембрани, будучи точним розв'язком її диференціальної математичної моделі, з наявною інформацією про початково-граничний стан останньої узгоджується за середньоквадратичним критерієм. Оцінено точність такого моделювання та сформульовано умови його однозначності. Розглянуто випадки чисто поперечних і чисто площинних коливань мембрани. Числову реалізацію отриманого розв'язку розглядуваних задач, виконано навіть за мінімальної кількості спостережень за станом мембрани, підтверджує простоту та правильність підходу до вивчення цих математично складних задач еластодинаміки товстих пружних плит.

Поставлено задачу знаходження функції динамічних поперечних зміщень товстих пружних плит під дією вісесиметричних зовнішньодинамічних збурень, що діють на поверхні таких плит. У постановці задачі вказано, що про стан плити відомі деякі початково-граничні спостереження, але їх кількість недостатня для розв'язання цієї задачі класичними методами математичної фізики чи чисельного інтегрування. Тому вважається можливим застосування до цієї задачі методики математичного моделювання зовнішньорозподілених динамічних процесів за умов невизначеності, тобто за недостатньої кількості початково-граничних умов. Для такої методики необхідно мати інтегральну математичну модель та її основні складові - ядра, тобто підінтегральні функції, для яких існує методика знаходження. Або ж їх можна визначити чисельними методами за допомогою систем комп'ютерної алгебри. За побудованої інтегральної моделі динаміки товстих пружних плит, враховуючи її ядра, використовуючи методику математичного моделювання динаміки просторово-розподілених процесів, отримано множину розв'язків, які точно, задовольняючи інтегральній і диференціальній моделям, з початково-граничними умовами, узгоджуються за певним критерієм. Вибрано один з множини розв'язків задачі знаходження функції поперечних динамічних зміщень, який знайдено, обчислюючи підінтегральну функцію математичної інтегральної моделі, за методикою математичного моделювання динаміки просторово-розподілених процесів. Для задачі зафіксовано пружні характеристики і густину плити, які відповідають деякому матеріалу, визначено деякі конкретні зовнішньодинамічні збурення та початково-граничні спостереження. За таких припущень побудовано графіки функцій поперечних динамічних зміщень для різних значень z - поперечної координати та зі значенням 0 радіальної координати r циліндричної системи координат.

Аналіз та оцінка напружено-деформованого стану (НДС) багатошарових плит на жорстких основах за дії стаціонарного поперечного навантаження є актуальною задачею, оскільки до неї зводяться розрахунки міцності та деформативності різного роду однорідних і багатошарових покриттів. Це розрахунок дорожнього одягу на відносно жорстких мостових конструкціях, або на недеформівному підстилаючому шарі, захисних багатошарових покриттів плоских елементів конструкцій більшої жорсткості, ніж покриття, деталей тощо. Об'єднання матеріалів з ізотропними та трансверсально-ізотропними фізичними характеристиками в багатошаровий пакет надає змогу створювати багатофункціональні конструкції. НДС таких конструкцій, зважаючи на їх структурну неоднорідність і відносно низьку поперечну жорсткість окремих шарів, суттєво пов'язаний із впливом деформацій поперечного зсуву та деформацій поперечного обтиснення. Тому актуальною є задача уточненого моделювання НДС плит, яка б ураховувала ці види деформацій. Базуючись на розкладанні НДС плити на згинові та беззгинові складові, запропоновано оптимізацію розрахункової схеми деформування прямокутної багатошарової плити на жорсткій основі. Суть оптимізації полягає в розгляді такої розрахункової схеми плити, в якій НДС плити повністю описувався б лише одною складовою, а саме беззгиновою складовою НДС. Для цього замість реальної конструкції багатошарової плити, що деформується без відриву від основи, запропоновано розглядати розрахункову схему плити, яка утворена симетричною добудовою відносно поверхні контакту даної плити з основою. У цьому випадку плита буде двосторонньо симетрично навантаженою відносно серединної поверхні плити, а товщина плити збільшиться вдвоє. НДС плити буде беззгиновим, що суттєво спрощує його моделювання. Для беззгинового НДС побудовані в пружній постановці двовимірні, високого ступеня ітераційного наближення, але тривимірні за характером відображення НДС моделі деформування багатошарових прямокутних плит на жорсткій основі з ізотропними та трансверсально-ізотропними шарами, які достатньо повно враховують деформації поперечного зсуву та поперечного обтиснення при поперечному навантаженні плити. Розв'язанням тестових задач деформування ізотропних і трансверсально-ізотропних плит на жорсткій основі з ковзким і жорстким контактом з основою, та порівнянням розв'язків з отриманими за відомими методиками точними тривимірними розв'язками цих задач, надано оцінку точності запропонованих уточнених моделей. Установлено межі допустимих параметрів пружних характеристик трансверсально-ізотропних плит для застосування запропонованих моделей.

Решены сложные задачи трехмерной теории упругости для толстых упругих плит с произвольной геометрией их боковой поверхности. Построены аналитические зависимости компонент поля упругих динамических смещений внутренних точек плиты от гранично-поверхностных внешнединамических возмущающих факторов, определенных непрерывными функциями или векторами их значений. Предполагается, что эти возмущения имеют классически определенный силовой характер или задаются определенным количеством дифференциальных преобразований компонент поля динамических смещений точек пластины. Отсутствие количественных и качественных ограничений на названные преобразования начально-краевых задач динамики плит делает некорректными и неразрешимыми методы классической и вычислительной математики. Предлагается методика среднеквадратического математического моделирования дискретно и непрерывно заданных наблюдений за начальнокраевым состоянием плиты системой моделирирующих функций и векторов их значений. Построенные при этом компоненты поля пространственно-динамических смещений точек плиты, точно удовлетворяющие классическому уравнению Ляме с имеющейся информацией о начальнокраевом ее состоянии, согласуются по среднеквадратическому критерию. Исследован вопрос однозначности полученных решений, сделана оценка их точности по отношению к информации о внешнединамическом состоянии исследуемой плиты. Рассмотрена динамика плиты в установившемся режиме, в случае отсутствия информации о внешнединамических воздействиях на нее и в условиях ее геометрической выражненности по пространственным координатам. Компьютерная реализация полученных математических результатов проста и может быть легко реализована известными методами вычислительной математики.

Запропоновано метод визначення температурних полів у плиті з урахуванням теплового випромінювання, температурної залежності теплофізичних характеристик, густин поверхневих та об'ємних джерел тепла за нерівномірного розподілу початкової температури. Задачі теплопровідності з використанням перетворення Кірхгофа, функції Гріна, узагальнених функцій і лінійних сплайнів зведено до розв'язання рекурентного нелінійного алгебричного рівняння відносно значень у вузлах сплайна змінної Кірхгофа на відповідній обмежувальній поверхні. Наведено результати числових досліджень.

В межах просторової теорії пружності побудовано два варіанти напіваналітичного методу скінченних елементів стосовно дослідження частот вільних коливань і форм розподілу переміщень в них. Розрахунок двома методами служить доказом достовірності аналізу. Проаналізовано частоти вільних коливань і відповідних форм розподілу переміщень шаруватої композитної плити, коли дві протилежні кромки вільні, а дві інші шарнірно закріплені. Розглянуто плиту з вільною нижньою поверхнею, яка жорстко закріплена нижньою поверхнею і що спирається на пружну основу у вигляді шару скінченної потужності з урахуванням його інерційних властивостей. Продемонстровано високу точність пропонованих моделей в даних задачах. Вказано на неприпустимість нехтування інерційними властивостями основ.

Проілюстровано методику визначення квазістатичного термопружного стану шаруватих вільних від силових навантажень термочутливих плит. Увагу приділено розв'язанню одновимірних нелінійних нестаціонарних задач теплопровідності. Наведено результати числових розрахунків температурного поля у двошаровій плиті, яке зумовлене сталим тепловим потоком. Досліджено точність знайденого розв'язку. Виконано порівняння з температурними полями, які визначені за припущення простої нелінійності, сталих теплофізичних характеристик та на основі точного розв'язку відповідної нелінійної стаціонарної задачі теплопровідності.

Разработан единый подход к исследованию пластического деформирования полиметаллических изотропных плит с гладкими и кусочно-гладкими опорными контурами при воздействии динамических нагрузок взрывного типа. Рассмотрены плиты разного типа: эллиптические, полу- и четверть-эллиптические, эллиптический пояс, эллиптический сектор. Материалы слоев могут быть идеально-пластическими или линейно-упрочняющимися.

Одержано рекурентні системи нелінійних алгебричних рівнянь, до розв'язання яких зведено визначення температурних полів у плитах з урахуванням нерівномірного розподілу початкової температури, теплового випромінювання, температурної залежності теплофізичних характеристик, густин поверхневих і об'ємних джерел тепла. При цьому використано перетворення Кірхгофа, функції Гріна відповідних лінійних задач теплопровідності і лінійні сплайни. Наведено приклад числових досліджень.

У межах лінеаризованої постановки задачі теорії пружності досліджено напружено-деформований стан заздалегідь деформованої товстої плити, змодельованої попередньо напруженим півпростором, під час її гладкої контактної взаємодії з жорстким осесиметричним параболічним штампом. Парні інтегральні рівняння задачі розв'язано за допомогою подання шуканих функцій у вигляді частинної суми ряду за функціями Бесселя з невідомими коефіцієнтами, для відшукання яких отримано скінченні системи лінійних алгебричних рівнянь. Проаналізовано вплив початкових деформацій та форми штампа на рівень та характер контактних напружень і вертикальних переміщень межової площини плити у випадках стисливого та нестисливого матеріалу. Результати проілюстровано для плити з пружним потенціалом Бартенєва - Хазановича, а також потенціалом гармонічного типу.

Проаналiзовано проблематику розрахунку товстостiнних конструкцiй та запропоновано новий просторовий скiнченний елемент, що побудований у криволiнiйнiй системi координат на основi векторної апроксимацiї функцiї перемiщень у рядах Маклорена. Перемiщення скiнченного елемента приймаються у виглядi вектор-функцiї, що мiстить у собi змiщення тiла як жорсткого цiлого. Представлено результати дослiджень достовiрностi та ефективностi використання методу скiнченних елементiв на основi криволiнiйного просторового скiнченного елемента на задачах пружного деформування пiд дiєю статичного навантаження (рiвновага товстих плит з рiзними умовами закрiплення, згин трансверсально-iзотропних пластинок з рiзними умовами закрiплення, рiвновага товстостiнного цилiндра пiд дiєю зовнiшнього та внутрiшнього тиску, а також пiд дiєю торцевого розтягу, рiвновага товстостiнної сфери пiд дiєю зовнiшнього та внутрiшнього тиску) з рiзними параметрами та згущенням сiтки дискретизацiї. Під час тестування МСЕ визначено межi застосування просторового криволiнiйного скiнченного елемента для моделювання нетонких пластин та оболонок.Демонстрацiю можливостей запропонованої методики продемонстровано на практичних задачах – моделювання роботи фланцевих з'єднань металевих вузлiв, розрахунок опорної плити бази круглого пiлона, розрахунок товстої фундаментної плити 30-поверхової залi- зобетонної житлової будiвлi.

Рассмотрена задача статического расчета шарнирно-сочлененных в отдельных точках прямоугольных плит понтонных переправ на основании Винклера, дорожных и аэродромных плит на упругом полупространстве и комбинированном основании Винклера - Когана на произвольную нагрузку. Смежные плиты соединяются цилиндрическими шарнирами. Расчет выполнен смешанным методом строительной механики с использованием способа Жемочкина и учетом собственного веса каждой плиты.

Визначено і досліджено термопружний стан двошарової ізотропної термочутливої нескінченної плити, зумовлений відомим неусталеним розподілом температурного поля за складного теплообміну та силовими навантаженнями. При цьому розглянуто різні варіанти задання інтегральних умов на повздовжні напруження та моменти. Проведено якісний та кількісний аналіз одержаних результатів та порівняння з існуючими результатами для часткового випадку.

Решен комплекс задач по построению трехмерного поля упругих динамических смещений точек плоской упругой плиты с произвольной гранично-торцевой поверхностью. Предполагается, что граничное состояние плиты задано через силовые возмущающие факторы или функцию вектора смещений. Решение задач построено на базе классических уравнений Ляме пространственной теории упругости при его среднеквадратическом согласовании с имеющимися внешнединамическими наблюдениями за состоянием плиты. Выполнена оценка точности указанного согласования. Сформулированы условия однозначности решения рассматриваемых задач.

Для дослідження напружено-деформованого стану (НДС) багатошарових плит на жорсткій основі застосовано уточнені моделі симетричного НДС. Розрахункова схема поперечно навантаженої плити утворюється симетричною добудовою плити відносно поверхні контакту її з основою. Навантаження на таку плиту подвійної товщини прикладається двосторонньо симетрично відносно її серединної поверхні. Це дає змогу моделювати тільки беззгинове деформування, що зменшує кількість невідомих і загальний порядок диференціювання розрахункової системи рівнянь. Ця схема моделює зсув без тертя на поверхні контакту плити з основою. Жорсткий контакт плити з основою моделюється введенням додаткового тонкого, але практично недеформованого прошарку. Використані уточнені континуальні моделі враховують деформації поперечного зсуву та поперечного обтиснення у високих ітераційних наближеннях. Розглянуто два варіанти уточнених моделей. В першому варіанті функція на вантаження задана явно, тоді як у другому варіанті вона замінена невідомою шуканою функцією обтиснення. Чисельно моделі реалізовані варіаційно-різницевим методом (ВРМ). Для отримання розрахункової системи алгебраїчних рівнянь ВРМ застосовано інтегрування варіаційного функціоналу Лагранжа на півкроці дискретизації з одночасним використанням лівих і правих різниць для перших похідних від функцій зсуву. Продемонстровано переваги другого варіанту уточненої моделі в задачах, де функція навантаження має розриви. Показано особливості НДС плит на жорсткій основі при дії локального розподіленого навантаження.

В межах моделі кусково-однорідного тіла з використанням тривимірної теорії електропружних хвиль в початково напружених тілах проведено математичне моделювання задачі про поле динамічних напружень, що виникає в шаруватій плиті-полосі. Ця плита складається з п'єзоелектричного ядра, яке межує з пружним шарами з початковими напруженнями, і перебуває на абсолютно твердій основі. Приймається, що п'єзопружний матеріал поляризований перпендикулярно до вільної поверхні пластини. Основну систему диференціальних рівнянь з частинними похідними розв'язано за методом скінченних елементів. Представлено числові результати, які ілюструють вплив певних залежностей задачі про поширення напружень і електричних зміщень, які діють на площинах розділу пружних шарів і п'єзоелектричного ядра та плитою і абсолютно твердою основою. Зокрема, вивчено вплив параметра початкового напруження і зміни товщини п'єзопружного ядра на частотні характеристики плити-стрижня.

В межах просторової теорії пружності побудовано два варіанта напіваналітичного методу скінченних елементів. В першому варіанті для апроксимації функцій по планарній координаті X використано поліноміальну скінченно-елементну апроксимацію, шукані функції по координаті Y представляються у вигляді ряду Фур'є, по товщині (координата Z) використовуються відомі поліноми. В другому варіанті для апроксимації шуканих функцій у плані по координаті X використовуються лінійні поліноми, по координаті Y використано ряд Фур'є, а розподіл шуканих функцій по товщині конструкції визначається на основі аналітичного розв'язання відповідної системи диференціальних рівнянь. Необхідність побудови двох варіантів напіваналітичного методу скінченних елементів зумовлена тим, що їм властиві похибки апроксимації і арифметичних обчислень. Проаналізовано напружено-деформований стан шаруватої композитної плити за дії нормального і дотичного навантаження, коли розмір сторони квадратного навантаження дорівнює товщині плити. Розглянуто плиту з вільною нижньою поверхнею та жорстко закріпленою нижньою поверхнею.

Запропоновано спосіб розв'язання плоскої стаціонарної задачі термопружності для багатошарової плити, пружно зчепленої з жорсткою півплощиною, з пружними зв'язками між шарами. Розв'язок грунтується на методі функцій податливості з використанням одновимірного інтегрального перетворення Фур'є. Побудовано рекурентні формули для розрахунку функцій податливості, які враховують вплив теплових навантажень та пружні зв'язки між шарами. Для двошарової плити, яка знаходиться під дією теплового навантаження, проаналізовано вплив пружних зв'язків, коефіцієнтів теплового розширення та коефіцієнтів теплопровідності шарів на розподіл напружень на спільній межі шарів.

Запропоновано наближений метод розв'язання задач лінійної в'язкопружності для тонких анізотропних плит, які знаходяться за умов поперечного згину. За методом малого параметра початкову задачу зведено до послідовності крайових задач прикладної теорії вигину плит, що вирішуються з використанням комплексних потенціалів. Одержано загальний вигляд комплексних потенціалів наближень, крайові умови для їх визначення. Як приклад наведено розв'язання задач для плити з еліптичними пружними включеннями. Надано аналіз числових досліджень для плити з одним та двома еліптичними (круговими) отворами, а також з лінійними включеннями.