Описано комплекс нових методів побудови аналітичних розв'язків задач про коливання або статичне деформування пружних тіл (стрижнів, дисків, пластинок), що моделюються диференціальними рівняннями другого порядку зі змінними коефіцієнтами. Методи базуються на групових підходах, до основи яких покладено симетрії диференціальних рівнянь. Наведено приклади аналітичного розрахунку поздовжніх коливань стрижнів, крутильних коливань дисків, згину круглих пластинок, вісесиметричного розтягнення дисків для тих випадків змінних характеристик, за яких ці розрахунки неможливо виконати традиційними аналітичними прийомами.

На підставі співвідношень теорії малих пружнопластичних деформацій і методу скінченних елементів розглянуто задачу про поведінку складеного диску за вісесиметричного імпульсного навантаження. Наведено числові результати розрахунків, які характеризують розвиток пластичних деформацій, вплив зміцнення матеріалу та тривалості імпульсу зовнішнього навантаження на коливні процеси пружнопластичного деформування диска.

На прикладі резонансних радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска з суцільними електродами й товщинною поляризацією оцінено вплив геометричної форми п'єзотрансформаторних датчиків на їх електричні потенціали, а також взаємний вплив близьких сусідніх датчиків.

Аналитически и экспериментально исследованы компоненты динамических механических напряжений при резонансных колебаниях тонких пьезокерамических дисков с толщинной поляризацией. Предложен прямой метод экспериментального определения планарного коэффициента электромеханической связи.

Проведено числове дослідження нестаціонарних вісесиметричних хвиль у диску у разі імпульсного радіального навантаження. Фізично нелінійне деформування описано моделлю течії Боднера - Партома. Параметри моделі визначено за експериментальними даними на розтяг із наступним стиском у широкому інтервалі швидкостей деформування. Досліджено часові та просторові особливості хвильового процесу. Вивчено вплив зміцнення на фокусування хвиль і розподіл залишкових деформацій.

Наведено результати аналізу плоского напруженого стану тонкого кільцевого диска під дією рівномірного стиску на двох діаметрально протилежних ділянках зовнішнього краю. Проаналізовано особливості розподілів напружень за допомогою теоретичної та експериментальної методик. Установлено аналітичні вирази для компонент вектора переміщень, що відповідають напруженому стану кільця під дією діаметрального стиску.

Наведено результати експериментальних досліджень резонансних властивостей товстих дисків із п'єзокераміки із суцільними електродами та поляризованих за товщиною. Інтерпретовано частотний спектр і модовий склад, виходячи із одновимірного наближення, використовуючи у цьому разі два характерних параметри - радіус і товщину. Зіставлено одержані результати з опублікованими. Виявлено спотворення деяких основних форм коливань за рахунок зв'язаності з невісесиметричними типами коливань.

У межах континуальної моделі та моделі кусково-однорідного тіла з використанням тривимірної лінеаризованої теорії стійкості розглянуто вісесиметричну втрату стійкості (розшарування) в задачі про кругову плоску тріщину в круглому диску (пластинці). Використано метод скінченних елементів. Проведено відповідні дослідження за допомогою різного типу сингулярних скінченних елементів і звичайних скінченних елементів. Одержані числові результати свідчать, що використання сингулярних скінченних елементів для задачі, що розглядалася, не є необхідним.

За допомогою методу Бубнова - Гальоркіна розв'язано задачу про активне демпфування вимушених резонансних згинальних коливань тришарової жорстко защемленої фізично нелінійної круглої пасивної в'язкопружної пластини за допомогою розподілених п'єзоелектричних актуаторів. Досліджено вплив фізичної нелінійності та температури дисипативного розігріву на ефективність активного демпфування коливань пластини.

У межах динамічної постановки зв'язаної задачі термомеханіки досліджено напружено-деформований стан диска, що виникає за дії лазерного імпульсу або електронного пучка з урахуванням мікроструктурних перетворень, які супроводжують нагрівання і наступне охолодження матеріалу. Розв'язування вісесиметричної задачі проводиться числово з використанням термодинамічно узгодженої теорії непружної поведінки матеріалу із застосуванням скінченноелементної методики та врахуванням залежності фізико-механічних властивостей матеріалу від температури. Вивчено вплив мікроструктурних перетворень на динамічну і квазістатичну реакцію матеріалу, залишковий напружено-деформований стан в зоні опромінення.

Розглянуто контакт з тертям жорсткого диска, який рівномірно обертається з пружним клином. Одна з граней пружного клина закріплена, а обід диска вдавлюється у незакріплену грань клина в околі його вершини. За допомогою методу Вінера - Гопфа одержано точний аналітичний розв'язок задачі. Знайдено розподіли напружень в області контакту та на закріпленій грані клина, а також переміщення вільної межі клина.

У межах теорії ідеальної пластичності запропоновано спосіб розрахунку за методом малого параметра можливої втрати стійкості плоского кругового кільцевого диска, жорстко без натягу насадженого на вал, що обертається. Знаходження збуреного пружно-пластичного стану диска, який обертається, зведено до визначення напруженого і деформованого станів нерухомої пружної кільцевої пластини, навантаженої у своїй площині. Одержано у першому наближенні характеристичне рівняння відносно критичного радіуса пластичної зони для заданого вигляду тиску на внутрішньому контурі диска з боку вала. Обчислено величину критичної кутової швидкості обертання за різних параметрів диска.

Шляхом розв'язання граничних інтегральних рівнянь методом відображень у поєднанні з покроковим методом творення часових залежностей досліджено поведінку податливого дискового еліптичного включення у тривимірному полі імпульсних пружних хвиль. У випадку симетричної задачі та нестаціонарного збурення з профілем функції Гевісайда встановлено вплив на коефіцієнт інтенсивності динамічних напружень в околі включення його ексцентриситету та співвідношення між пружними модулями матричного середовища та включення.

Предложен способ исследования методом малого параметра возможной потери устойчивости вращающегося составного плоского кругового диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при различных параметрах диска.

Предложен способ исследования методом малого параметра механизма потери устойчивости вращающегося составного плоского кругового диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при различных параметрах диска.

В частотной области численно решена симметричная задача о динамическом взаимодействии в прямоугольно-решеточной системе компланарных дисковых трещин, расположенных в бесконечном упругом теле. Задача сведена к граничному интегральному уравнению относительно функции динамического раскрытия трещины в унитарной ячейке с помощью трехмерной периодической функции Грина. Эта функция адаптирована к эффективным расчетам через представление ее в форме экспоненциально сходящихся интегралов Фурье. Для решения граничного интегрального уравнения использована численная схема метода каллокаций. Для разных размеров ячейки установлены зависимости коэффициента интенсивности динамических напряжений отрыва в окрестности трещин от волнового числа.

Предложен способ исследования методом малого параметра возможной потери устойчивости вращающегося составного плоского кольцевого кругового диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при различных параметрах диска.

Выполнены испытания на одноосное сжатие образцов типа "бразильского диска" из скальной породы с 3-мя предварительно выращенными параллельными трещинами в средней части. Образцы из модельного материала (бетон на основе пуццоланового портландцемента, мелкого песка и воды) изготовили в лаборатории механики горных пород. Измерения критической нагрузки в таких дисках показали, что она незначительно зависит от ориентации трещин и их взаимовлияния. Процесс разрушения образцов изучали при разных углах наклона 3-х параллельных трещин относительно оси сжимающей нагрузки по обычной схеме испытаний бразильских дисков. Экспериментально установлено, что на первом этапе нагрузки начинается бифуркация трещин и их распространение в направлении линии сжимающей нагрузки. Проведено численное моделирование процесса разрушения образцов с помощью косвенного метода граничных элементов высшего порядка, известного как "метод разрыва перемещений". Данные численных расчетов по инициированию и слиянию трещин сравнили с экспериментальными результатами. Получена тесная корреляция численных результатов с экспериментальными.

У межах теорії малих пружно-пластичних деформацій запропоновано спосіб розрахунку з використанням методу малого параметра можливої втрати стійкості плоского кругового диска, що обертається. Підтверджено формулу для обчислення критичної кутової швидкості обертання диска з нестискуваного матеріалу.

У межах теорії малих пружно-пластичних деформацій запропоновано спосіб розрахунку за допомогою методу малого параметра можливої втрати стійкості плоского кругового диска, що обертається. Підтверджено формулу для обчислення критичної кутової швидкості обертання диска з нестискуваного матеріалу.