Проанализирована научная и педагогическая деятельность известного русского ученого, академика А.М.Ляпунова, показан его вклад в развитие механики и математики в Харькове. Рассмотрено развитие творческого наследия академика учеными НТУ "ХПИ". Освещены метод функции Ляпунова в задачах оптимизации динамических систем, периодические решения (нормальные колебания) в системах Ляпунова. Описано воздействие быстро осциллирующего поля на деформируемые тела при нелинейной ползучести. Приведен указатель основных публикаций ученого, а также список литературных источников о его жизни и деятельности.

Приведены аналитические и числовые методы моделирования нелинейных динамических процессов, происходящих в энергетическом оборудовании в различных механических системах, в частности, методы усреднения, многих масштабов, центральных многообразий, гармонического баланса, хаотического движения.

Рассмотрены модели нелинейных процессов, которые происходят в деформируемых системах. К таким системам относятся гибкие стержни, совершающие нелинейные колебания с умеренными амплитудами, а также тонкостенные пластины и оболочки, в которых наблюдаются геометрические нелинейные явления. Приведены аналитические и численные методы теории колебаний для исследования данных процессов.

Для дослідження біфуркаційної поведінки в разі зміни двох характерних параметрів запроваджено амплітудну поверхню. На прикладі віброударної системи у випадку зміни частоти та амплітуди сили за допомогою амплітудної поверхні здійснено аналіз біфуркацій. У віброударній системі виявлено біфуркації корозміру два.

Нелінійну динаміку гнучких стрижнів описано нелінійним диференціальним рівнянням у часткових похідних. У моделі стрижня враховано розтяг нейтральної лінії за умовою коливань. Використовуючи метод Бубнова - Гальоркіна, одержано систему звичайних диференціальних рівнянь, розв'язану за допомогою методу багатьох масштабів. Досліджено систему модуляційних рівнянь.

Нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных описана нелинейная динамика гибких стержней. В модели стержня учтено растяжение нейтральной линии при изгибных колебаниях. Используя метод Бубнова - Галекина, получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решена методом многих масштабов. Подробно исследована система модуляционных уравнений.

Досліджено можливість гасіння вільних пружних коливань за допомогою ферми Мізеса, яка кріпиться до лінійної пружної системи. Для аналізу нелінійних коливань застосовується метод нелінійних нормальних форм. Показано, що локалізована нелінійна нормальна форма відповідає режиму гасіння коливань.

Досліджено вимушені коливання циліндричних оболонок у випадку двох внутрішніх резонансів, які зведено до системи трьох диференційних рівнянь. Стоячі та біжучі хвилі в оболонках описано системою із шести модуляційних рівнянь, які одержано за допомогою методу багатьох масштабів. Досліджено стійкість стоячих та біжучих хвиль.

Досліджено осцилятор Дуфінга під дією квазіперіодичного навантаження, який взаємодіє з нерухомою стрічкою завдяки силі тертя. За допомогою методу багатьох масштабів одержано систему двох неавтономних рівнянь з малим параметром, яка описує модуляцію коливань. Показано, що в системі модуляційних рівнянь спостерігається гетероклінічна структура. Область гетероклінічного хаосу досліджено за допомогою функцій Мельникова.

Исследованы нелинейные изгибно-изгибно-крутильные колебания закрученных стержней, описываемые системой трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В уравнениях учтена депланация поперечного сечения стержня и предположено, что центр тяжести и жесткости находятся в разных точках. Для дискретизации системы колебания представлены в виде ряда по собственным формам линейной задачи. Свободные колебания исследованы с помощью нелинейных нормальных форм Шоу - Пьера.

Вынужденные колебания балки описаны с помощью дискретной модели с двумя степенями свободы, а ее взаимодействие с существенно нелинейным гасителем - моделью с тремя степенями свободы. Проанализированы движения балки, способствующие гашению колебаний, которые представляются нелинейными нормальными формами колебаний в конфигурационном пространстве. Расчет движений проведен по методу Раушера. Исследована устойчивость таких движений по Ляпунову.

Получена модель колебаний несимметричного однодискового ротора на двух подшипниках с кубической нелинейностью опор. Учтены гироскопические моменты диска, упругие свойства и распределенная масса вала. Математическая модель колебаний ротора сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для анализа полученной системы применяется метод нелинейных нормальных форм Шоу - Пьерра. Получены формы колебаний вала с диском и фазовые траектории систем, построены скелетные кривые нелинейных колебаний ротора.

Досліджено вимушені коливання ударного осцилятора Дуфінга з одним ступенем вільності. Негладкі перетворення Журавльова та метод багатьох масштабів використано сумісно для дослідження коливань. Вимушені коливання у зоні родини резонансів детально досліджено. Розглянуто стійкість і біфуркації періодичних коливань.

Запропоновано метод аналізу вимушених коливань у нелінійних системах. Основою процедури є сполучення ітераційного методу Раушера та нелінійних форм Пера - Шоу. Як приклад наведено результати розрахунків вимушених коливань положистої арки.

Наведено нові розв'язки задач біфуркацій та стійкості нелінійних коливань деформівних систем, базуючись на теорії динамічних систем та сумісного використання аналітичних і числових методів нелінійної динаміки. Розвинуто асимптотичні методи: Мельникова; нелінійних нормальних форм; багатьох масштабів та центральних багатовидів, що дало змогу вперше дослідити біфуркації та стійкість нелінійних коливань гнучких стрижнів та циліндричних оболонок, віброударних систем та силових передач двигунів внутрішнього згоряння. Створено метод амплітудних поверхонь для аналізу біфуркацій періодичних коливань у разі зміни двох параметрів деформівних систем. Розроблено підхід до проблеми гасіння коливань, з використанням якого встановлено можливості гасіння та локалізації вільних і вимушених коливань у деформівних системах з гасником типу ферми Мізеса. Одержано нові якісні результати, на підставі яких систематизовано біфуркації корозмірності два. Ці біфуркації спостерігаються у віброударних системах. Уперше установлено закономірності комбінаційних резонансів під час нелінійних вимушених коливань гнучких стрижнів, параметричних коливань циліндричних оболонок, біжучих хвиль у циліндричних оболонках з двома внутрішніми резонансами. Досліджено біфуркації майже періодично збуджених деформівних систем, фрикційно взаємодіючих з рухомою стрічкою, що дало змогу визначити зони динамічного хаосу у цих системах.

Предложена методика выбора параметров газожидкостного демпфера колебаний, основанная на определении первой собственной частоты колебаний жидкости в трубопроводе по формулам для системы с одной степенью свободы. Даны примеры расчета ступенчатого и разветвлённого трубопроводов ракет.

Преобразуя дифференциальное уравнение падения шара переменных размеров, при различных законах уменьшения радиуса во времени, удалось свести его к уравнению типа Бесселя и найти замкнутые аналитические решения.

Запропоновано модель коливань ротора з одним диском на нелінійних податних опорах з урахуванням гіроскопічних моментів, діючих на диск. Для дослідження динаміки цієї нелінійної системи використано підхід, оснований на методі багатьох масштабів.

Розв'язано задачу про падіння однорідної кулі зростаючого радіуса з вертикальною віссю обертання без урахування опору зовнішнього середовища. За експонентного закону зростання радіуса кулі в часі перші та другі інтеграли рівнянь руху подано через відомі функції та досліджено особливості руху у разі дії сили Магнуса. Для знаходження кутової швидкості обертання кулі використано закон збереження кінетичного моменту. Розглянуто також випадок руху кулі зі сталою кутовою швидкістю.

Запропоновано модель нелінійного динамічного деформування циліндричної оболонки, що враховує декілька спряжених форм коливання. В моделі розглянуто два режими руху: нелінійні нормальні форми та біжучі хвилі.