Скачати повний текст

Виконано груповий аналіз (1+1)-вимірних квазілінійних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами. Знайдено групу еквівалентності всього класу та ширшу групу еквівалентності, що відповідає підкласу рівнянь з експоненціальною нелінійністю. Ліївські симетрії прокласифіковано з точністю до знайдених перетворень еквівалентності. Показано, що розмірність максимальних алгебр інваріантності досліджуваних рівнянь не перевищує чотирьох.

Розглянуто задачу класифікації ліївськнх симетрій у класах нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Такі симетрії, зокрема, дозволяють відібрати фізично важливі рівняння з певного класу, а також побудувати їх точні розв'язки. Для багатьох класів рівнянь, що є важливими для застосувань, класичні методи групового аналізу не дозволяють одержати вичерпну класифікацію симетрій. Такі задачі потребують нових підходів, більшість з яких грунтуються на використанні невироджених точкових перетворень. На прикладах групової класифікації узагальнених рівнянь Кавахари та квазілінійних рівнянь реакції-дифузії показано ефективність нещодавно розроблених методів, зокрема відшукання найбільш широких груп еквівалентності та відображень між класами.

Розглянуто задачу класифікації ліївськнх симетрій у класах нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Такі симетрії, зокрема, дозволяють відібрати фізично важливі рівняння з певного класу, а також побудувати їх точні розв'язки. Для багатьох класів рівнянь, що є важливими для застосувань, класичні методи групового аналізу не дозволяють одержати вичерпну класифікацію симетрій. Такі задачі потребують нових підходів, більшість з яких грунтуються на використанні невироджених точкових перетворень. На прикладах групової класифікації узагальнених рівнянь Кавахари та квазілінійних рівнянь реакції-дифузії показано ефективність нещодавно розроблених методів, зокрема відшукання найбільш широких груп еквівалентності та відображень між класами.

Досліджено допустимі перетворення загального класу (1 + 1)-вимірних нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку. Побудовано ланцюжок вкладених нормалізованих підкласів цього класу. Для цих підкласів побудовано групоїди еквівалентності. Окремо розглянуто два ненормалізовані підкласи рівнянь типу реакції - конвекції - дифузії, що є цікавими для застосувань, і знайдено їх групи еквівалентності.

Виконано групову класифікацію ненормалізованого класу узагальнених рівнянь Кавахари зі змінними коефіцієнтами. Для цього спочатку досліджено допустимі перетворення та проведено розбиття цього класу на 2 нормалізованих підкласи, для кожного з яких побудовано групоїди еквівалентності. В результаті виокремлено всі рівняння з класу, які допускають розширення ліївської симетрії.

25 грудня виповнюється 75 років відомому українському фахівцю в галузі математичної фізики, лауреату Державної премії України в галузі науки і техніки (2001) та премії ім. М. М. Крилова НАН України (2010), завідувачу відділу математичної фізики Інституту математики НАН України, доктору фізико-математичних наук (1987), професору (2001), члену-кореспонденту НАН України (2009) Анатолію Глібовичу Нікітіну.

Розвинуто теорію групоїдів еквівалентності класів диференціальних рівнянь, створено нові методи і алгоритми групового аналізу диференціальних рівнянь, а також розв'язано низку класифікаційних задач групового аналізу, зокрема, класифікації ліївських і некласичних операторів редукції та законів збереження. Основну увагу зосереджено на застосуванні групоїдів еквівалентності до задач групової класифікації і пошуку точних розв'язків рівнянь математичної фізики, біології та фінансової математики. Введено поняття регулярних і сингулярних випадків розширення ліївської симетрії, запропоновано модифікацію алгебраїчного методу групової класифікації для ненормалізованих класів диференціальних рівнянь, продемонстровано застосування методу контракцій до задач групової класифікації, описано алгоритм побудови всіх випадків розширень ліївської симетрії з списку нееквівалентних розширень, ефективно використано групоїди еквівалентності при дослідженні інтегровності та класифікації некласичних операторів редукції. Проведено розширений груповий аналіз для класів рівнянь K(m,n), Кавахари, Кортевега-де Фріза третього і п'ятого порядків, Фішера, Ньюела – Вайтхеда - Сегеля, реакції - дифузії, Бюргерса, Бенджаміна – Бона - Махоні, (2 + 1)-вимірних рівнянь Коломогорова, (1 + 1) - вимірних нелінійних еліптичних і хвильових рівнянь та інших.

Клас узагальнених рівнянь Кавахари з коефіцієнтами, що залежать від часу, розглянуто з симетрїйної точки зору. Проведено класифікацію ліївських редукцій рівнянь з такого класу. Для кожного випадку розширення ліївської симетрії визначено тип максимальної алегбри інваріантності відповідного рівняння Кавахари, побудовано оптимальну систему одновимірних підалгебр такої алгебри, які використано для знаходження ліївських анзаців. Виконано редукції рівняння Кавахари до звичайних диференціальних рівнянь, а також побудовано деякі точні ліївські інваріантні розв'язки.