Розглянуто багатовимірний вінерів процес із напівпрозорою мембраною, розташованою на заданій гіперплощині. Траєкторії цього процесу є розв'язками стохастичного диференціального рівняння, яке є деяким узагальненням відомого рівняння Скорохода для дифузійного процесу в обмеженій області з граничними умовами на межі. За допомогою адитивного функціонала від процесу, що має характер локального часу, зроблено випадкову заміну часу в цьому процесі, отримано ймовірнісне зображення розв'язків однієї задачі математичної фізики.

Теоретично відомо, що для детермінованих об'єктів існує взаємооднозначний зв'язок між матричними формалізмами Джонса і Мюллера. Проте на практиці у більшості випадків неможливо визначити матрицю Джонса, відповідну експериментально виміряній матриці Мюллера детермінованого об'єкта. Причина цього полягає у наявності похибки експериментальних вимірювань елементів матриці Мюллера. У відомій на даний час літературі з поляриметрії немає жодного систематичного дослідження впливу похибки вимірювань на результати аналізу інформації, що міститься у матриці Мюллера. Запропоновано метод знаходження детерміністичної матриці Мюллера, найближчої до експериментально виміряної матриці (різниця між значеннями елементів не перевищує середньої похибки вимірювань). Досліджено вплив похибки вимірювань на можливість перерахунку експериментально виміряної матриці Мюллера детермінованого об'єкта в матрицю Джонса для подальшого детального аналізу. Отримано відповідні аналітичні вирази такого перерахунку.

Опубліковано матеріали III міжнародної конференції, яка відбулася 12 - 18 липня 1999 р. у Києві. Розглянуто питання подальшого розвитку та застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній фізиці та теорії диференціальних рівнянь. Поряд з аналізом симетрії та побудовою точних розв'язків складних багатовимірних нелінійних рівнянь, дані методи дозволяють будувати адекватні математичні моделі у фізиці, механіці, математичній біології та інших природничих науках.

Розглянуто процес застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній та теоретичній фізиці, а також інших природничих науках. Значну увагу приділено квантовим групам, зображенню груп і алгебр Лі та деяким прикладним задачам, що досліджуються з використанням симетрійного аналізу.

Проведено изучение вычислительных методов в линейных и нелинейных системах. Детально рассмотрен метод фазовой плоскости и метод изоклин для численного построения фазового портрета изучаемых систем. Подробно разобраны случаи "положительного" и "отрицательного" трения, возвращающей и отталкивающей силы в линейных системах. Изучены связанные осцилляторы, нормальные моды, фазовая и групповая скорости, теорема о ширине частотной полосы. При изучении нелинейных систем в первую очередь внимание обращается на солитоны и явление динамического хаоса. Основное внимание уделяется математическим методам численного решения данных задач на ПЭВМ.

Излагаются методы математического моделирования, методы расчетов, позволяющие устанавливать новые физические эффекты и на их базе создавать эффективные процессы, оценивать степень получаемой при этом интенсификации и выяснять условия, при которых эта интенсификация достигается. Представлен метод формулирования и реализации математических моделей технологических процессов по аналогии - метод аналогизации, показаны приемы установления аналогов параметров и разработаны методы отбора математических моделей процессов различной физической природы, с одинаковым механизмом течения и идентичным математическим описанием процесса. Доказано более 50 теорем (утверждений) общей теории процессов и теории их интенсификации, выявлены условия интенсификации, установлены ее принципы, методы и способы. Методами аналогизации и математического моделирования установлено более 250 новых физических эффектов и показаны приемы их выявления.

Рассмотрены основные принципы многопотокового моделирования с использованием современной технологии COM (Component Object Model), позволяющей в полной мере использовать возможности современных операционных систем Windows 95 и Windows 98 для повышения эффективности имитационных моделей асинхронных параллельных методов математической физики. Дается краткое описание основных параметров интерфейса COM, используемого при моделировании. Приведено описание постановки задачи, принципов реализации, а также исполнения моделирующей программы на примере конкретной рабочей нагрузки. Подробно изложены основные структуры данных и методы классов, используемых при написании программного кода модели в визуальной среде программирования Delphi на алгоритмическом языке Object Pascal.

Работы сборника отражают направления по исследованию нелинейных краевых задач, как для обыкновенных уравнений, так и для уравнений с частными производными, направленные на Международную конференцию по математическому моделированию. Они посвящены математическому моделированию актуальных проблем современного естествознания с целью установления закономерностей изучаемых явлений и процессов, прогнозирования и управления. Большое внимание уделено вопросам создания существенно нелинейных моделей, исследованию задач со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений, правильной постановки задач математической физики, исследованию вопросов их разрешимости, стабилизации во времени и пространственной локализации решений, построению конструктивных методов решения, в частности, асимптотических, вариационных, численно-аналитических.

При побудові математичних моделей фізичних полів широко використовуються різного типу гіпотези, що стосуються припущень щодо гладкості поля, характеру граничних поверхонь області існування поля та особливостей взаємодії об'єкта, що розглядається, з навколишніми об'єктами. В багатьох випадках використання зручних математичних модельних уявлень призводить до того, що деякі характеристики поля не мають обмежених значень в окремих точках. Питання про виникнення таких локальних особливостей у фізичних полях різної природи при вивченні їх методами математичного моделювання має принциповий характер з точки зору загального розуміння можливостей і змісту процесу математичного моделювання. Поява сингулярностей у характеристиках поля є наслідком суперечностей, які привносяться до математичної постановки задачі при незалежному моделюванні властивостей середовища, характеру границі та характеру граничних умов. У роботі викладено єдиний методологічний підхід до визначення характеру сингулярності в різних типах фізичних полів. Підхід базується на впровадженні поняття загального розв'язку граничної задачі та використанні такого розв'язку в околі сингулярних точок. Показано, що розв'язки з особливостями дають достовірні якісні та кількісні дані про характеристики поля поза малою зоною околу сингулярності. Аналіз розв'язків граничних задач з локальними особливостями показує характер труднощів при трактуванні фізичного змісту розв'язків поблизу сингулярностей. Тут типовими є такі ситуації, коли спостерігається взаємне проникнення різних частин тіла , величини переміщень або швидкостей деяких точок границі залежать від напрямку граничного

переходу та ін. У ряді випадків апріорне знання характеру сингулярностей дає можливість для розвитку нових підходів до побудови ефективних розв'язків граничних задач.

Розглянуто структури розв'язків (GSS) для крайових задач математичної фізики в областях, що містять вузькі розрізи, малі тріщини, порожнини тощо. Показано, що використання класичної GSS Л. В. Канторовича в таких випадках призводить до неповноти структурних формул. Для областей вказаного вигляду запропоновано нові структурні формули, що мають повноту.

Розглянуто питання застосування поліметричної методології в науці, основи поліметричної теорії міри та вимірювань. Наведено основні поліметричні, кібернетичні, лінгвістичні та фізичні моделі, а також модель функціонально-логічних автоматів. Викладено основи релаксаційної оптики, наведено основні результати теорії інформаційних обчислень.

Розглянуто реалізацію методу верхньої релаксації за умов розв'язування задач математичної фізики методом кінцевих елементів. Проаналізовано можливі варіанти запису матриць у розрідженому форматі. Наведено послідовну та паралельну форми реалізації та експериментальні результати розв'язування задач математичної фізики з використанням цього методу.

Розглянуто напівемпіричні гіпотези, що застосовуються для моделювання теплообміну та гідродинаміки в турбулентному пограничному шарі біля криволінійних поверхонь та базуються на ідеї довжини шляху перемішування. Результати чисельного моделювання свідчать про те, що модель шляху перемішування (з урахуванням впливу кривизни) дозволяє із достатньою точністю розраховувати параметри теплообміну та гідродинаміки. Близькість відносних значень коефіцієнтів тертя та теплообміну свідчить про збереження аналогії Рейнольдса при обтіканні криволінійних поверхонь.

Вивчено задачу спряження для параболічного рівняння другого порядку з параболічним оператором того ж порядку для умови спряження. За допомогою методу теорії потенціалів доведено теорему про класичну розв'язність задачі у гельдеровому просторі функцій.

Досліджено глибинний символізм, покладений в основу пізнання світу, на прикладі одного із найбільш парадоксальних розділів теоретичної фізики - квантової механіки. Деталізовано та поглиблено аналіз ідей і головних принципів квантової механіки, що склали її струнку символічну будову та призвели до заснування її золотого віку. Наведено деякі філософські міркування творців квантової теорії.

Розглянуто задачу побудови точних розв'язків рівнянь, що використовуються для опису багатьох фізичних, хімічних та економічних процесів. Наведено розв'язки деяких крайових задач теорії масопереносу з частково недовизначеними крайовими умовами, а також деякі задачі у теорії сингулярно збурених параболічних релейних систем типу реакція - дифузія. Визначено стаціонарні температурні поля в напівобмежених багатошарових циліндрично-кругових областях. Досліджено застосування асимптотичних методів у теорії атомних зіткнень. Описано узагальнені перетворення Лежандра для релятивістської механіки Остроградського третього порядку.

Приведены теоретические исследования теории поля, которую рассмотрено в пространственно-временных представлениях, а также изложены проблемы простых чисел. Определена структура Вселенной, критерии существования атмосферы у космических тел, основные законы и свойства информационных полей. Доказана теорема Гаусса для гравитационного поля, зависимость скорости света от уровня энтропийного пространства-времени, разработаны принципы квантования вещества, а также несколько инженерно-технических проектов: гравитационной электростанции (три типа), системы сверхбыстрой космической связи, камеры замедления времени, системы жесткого луча и др.

Рассмотрены гибридные методы решения плоских задач дифракции на основе метода дискретных особенностей, вычислительные особенности в гидродинамических задачах с подвижными границами, численные решения сингулярных интегральных уравнений на действительной оси. Изложены методика и результаты исследования аэродинамической интерференции близколетящих самолетов, а также обтекания надводной части авианесущего корабля воздушным потоком. Изучены некоторые вопросы численного решения сингулярных интегральных уравнений в задачах дифракции звуковых волн, подходы к моделированию фенологических явлений на восточно-европейской равнине, особенности математического моделирования в парашютах и др.

Предложен алгоритм нахождения функции Грина для задачи импульсного возбуждения идеально проводящего неограниченного кругового конуса с периодическими радиальными щелями. Алгоритм основан на использовании преобразования Лапласа по временному параметру, интегрального преобразования Конторовича - Лебедева и метода задачи Римана - Гильберта. В случаях полупрозрачного конуса приведены интегральные представления и представления в виде ряда для функции Грина.

Висвітлено числово-аналітичні методи розв'язання крайових задач математичної фізики, насамперед прямих та обернених задач поширення акустичних хвиль у підводних хвилеводах. Розглянуто питання побудови математичних моделей. Описано властивості розв'язків крайових задач. Сформульовано принципи побудови та дослідження числових методів моделювання хвильових процесів. Відображено питання обгрунтування стійкості різницевих схем розрахунку хвильових задач у неоднорідних хвилеводах.