Доведено теореми існування та єдиності екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень. Розглянуто умови та критерій екстремального елемента, який є узагальненням класичного критерію Колмогорова багаточлена, що найменше відхиляється від заданої функції.

Доказаны теоремы существования и единства экстремального элемента для задачи наилучшей равномерной аппроксимации непрерывного компактнозначного отражения множествами непрерывных однозначных отражений. Рассмотрены условия и критерий экстремального элемента, который является обобщением классического критерия Колмогорова многочлена, наименее отклоняющегося от заданной функции.

Установлено теореми існування, необхідну і достатню умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.

Досліджено задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень. Доведено теореми існування та єдиності елемента найкращого рівномірного наближення неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень, встановлено необхідні, достатні умови та критерії цього елемента. Знайдено співвідношення двоїстості, які зводять дану задачу до двоїстих задач на обчислення верхньої межі у просторах EX* та EC*(S, X). Для розв'язання задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним чебишовським підпростором однозначних неперервних відображень модифіковано метод січної площини та узагальнено алгоритм Ремеза. Одержано двосторонні оцінки збіжності побудованих алгоритмів, які можна використати для відшукання найкращого наближення з наперед заданою точністю.

Встановлено критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім'ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень.

The criteria for an extremal element and its uniqueness for the problem of the best uniform approximation of continuous compact-value maps by some sets of single-valued maps are established.

На основі ідеї методу січних площин розв’язування задачі опуклого програмування побудовано збіжний метод розв’язування задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих ліпшіцевих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень.

We generalized the method of cutting planes for the problem of the best at sense of the family convex lipschitz functions uniform approximation of compact-valued maps by finite dimensional space of continuous single-valued maps.

Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні сім’ї опуклих функцій рівномірної апроксимації півнеперервного зверху компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з додатковим обмеженням, що задається системою замкнених куль з центрами та радіусами, які змінюються неперервно.

The necessary and sufficient conditions and criteria of the extremal element for the problem of the best at sense of the family convex functions uniform approximation of upper semicontinuous compact-valued maps by set of single-valued maps with the additional restriction which is defined by set of closed balls are proved.

Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної несиметричної апроксимації багатозначного відображення однозначними.

The necessary and sufficient conditions and criteria and extreme element for the problem of best uniform asymmetric approximation of setvalued mapping by the set of single-valued map.

Узагальнено метод січних площин розв’язування задачі опуклого програмування на випадок задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором з додатковим обмеженням, що задається системою замкнутих куль.

In the article the cutting plane methods is generalized on the case of problem of the best uniform approximation continuous compact-valued maps by finite dimensional space of continuous single-valued maps with additional restriction.

Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції p рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з використанням крайніх точок субдиференціалів функції p.

In this article criterions of the extremal element for the problem of the best at sense of the convex function uniform approximation of continuous compact-valued maps by continuous single-valued maps with the use of extreme points of subdifferentials of function are established.

Узагальнено метод січних площин на випадок задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням.

In this article the method of cutting planes is generalized on the case of problem of the best uniform approximation continuous compact-valued maps by finite dimensional Chebyshev space of continuous single-valued maps with additional restriction.

Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення відношеннями елементів двох множин неперервних однозначних відображень.

In article we established the necessary and sufficient conditions and criteria of the element of the best uniform rational approximation of continuous compact-valued map.

Встановлено теореми характеризації, єдиності екстремального елемента, співвідношення двоїстості та привило чебишовського альтернансу для задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням.

In the article there established the theorems of existence, characterization, uniqueness of the extremal element, dual relation and generalized rule of Chebyshev alternation for the problem of the best uniform approximation continuous compact-valued maps by finite dimensional Chebyshev space of continuous single-valued maps with additional restriction.

Встановлено критерії чебишовської точки деякої системи опуклих обмежених замкнених множин лінійного над полем комплексних чисел нормованого сепарабельного простору, які неперервно змінюються, відносно скінченновимірного підпростору цього простору.

In the article there established the criteria Chebyshev point of a system of convex bounded closed sets of linear over the complex numbers a separable normed space which is continuously changing relatively a finitedimensional subspace of this space.

Встановлено критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшицевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень.

In this article criterions of the extremal element for the problem of the best at sense of the convex lipschitz function uniform approximation of continuous compact-valued maps by finite dimensional space of continuous single-valued maps are established.

Встановлено критерії сильної єдиності екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення Г-множинами однозначних відображень.

In this article criterions of the strong uniqueness of the extremal element for the problem of the best at sense of the convex function uniform approximation of continuous compact-valued maps by Г-set of continuous single-valued maps are established.

Встановлено необхідні, достатні умови та критерії оптимальності методу найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно за допомогою неперервного багатозначного відображення, елементами множини неперервних однозначних відображень.

Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремальності елемента для задачі найкращого у розумінні сім'ї опуклих функцій рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою опуклозначного багатозначного відображення, елементами множини неперервних однозначних відображень.

Встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні зваженої хаусдорфової відстані рівномірної апроксимації фіксованого відображення з множини неперервних відображень з компактними опуклими образами підмножиною цієї множини. Одержано низку допоміжних результатів, які становлять і самостійний інтерес.

Встановлено критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору.