Наведено результати теоретичних і експериментальних досліджень властивостей лінійного та білінійного базисів на симплекс- і мультиплекс-елементах. У результаті виявлено нові властивості білінійного базису, які пов'язані з парадоксальним явищем "третьої голки". Надано тлумачення одержаного парадоксу.

Висвітлено основні поняття математичної фізики, розглянуто диференціальні рівняння з частинними похідними. Розглянуто та розв'язано задачу про поздовжені коливання стрижня. Досліджено поперечні коливання струни та запропоновано методи розв'язування задач про такі коливання. Розглянуто задачу про розповсюдження тепла в нерівномірно нагрітому тілі, обмеженому поверхнею. Враховано специфіку методу Фур'є для розв'язування задачі теплопровідності. Показано застосування операційного числення у разі розв'язування диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Освещены основные понятия математической физики, рассмотрены дифференциальные уравнения с частными производными. Рассмотрена и решена задача о продольных колебаниях стержня. Исследованы поперечные колебания струны и предложены методы решения задач о таких колебаниях. Рассмотрена задача о распространении тепла в неравномерно нагретом теле, ограниченном плоскостью. Учтены специфика метода Фурье для решения задачи теплопроводности. Показано применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений с частными производными.

Проведено дослідження скінченних елементів різної конфігурації задля побудови базисних функцій з подальшим відновленням фізичних полів. Одержано нові класи моделей на плоских і просторових серендипових елементах вищих порядків. Розв'язано задачу про кручення призматичних стрижнів прямокутного перерізу методом скінченних елементів з використанням стандартних та альтернативних серендипових моделей. Виявлено й аналітично доведено явище стійкості фізичних полів щодо серендипового базису. Побудовано унітарні базиси на восьмикутному скінченному елементі та проведено дослідження їх на гармонічність. Розроблено несітковий обчислювальний метод для відновлення фізичних полів у областях неопуклої форми. Проведено його апробацію за допомогою відомих обчислювальних методів і комп'ютерних і фізичних експериментів.

Досліджено стаціонарне поле в антипризмі. З цією метою побудовано декілька математичних моделей та проведено порівняння одержаних результатів із результатами, одержаними за допомогою відомих дискретних методів.

Розв'язано задачу про кручення призматичних стрижнів із прямокутним перерізом. Розглянуто можливість застосування методу скінченних елементів із використанням не лише стандартних моделей, а й альтернативних, побудованих засобами геометричного моделювання. Проаналізовано точність розрахунків залежно від порядку та кількості елементів, на які розбивається поперечний переріз. Розв'язано обернену задачу з метою одержання оптимізованих моделей.

В результаті проведення ряду комп’ютерних експериментів з використанням засобів когнітивної графіки виявлено нові властивості серендипових скінченних елементів вищих порядків в тривимірному просторі. В межах температурної задачі встановлено умови, при яких спостерігається стійкість температурного поля по відношенню до базису. Сформульовано критерій інваріантності температурних полів серендипових елементів щодо альтернативних функцій форми.

As a result of realization computer experiments, using cognitive graphics facilities new properties of the serendipian finite elements of higher orders in three-dimensional space were found out. Firmness conditions of the temperature field in relationto a basis within the framework of temperature task are set. The invariance criterion of the temperature fields over serendipian elements is formulated in relation to the alternative shape functions.