Наведено найбільш уживані терміни та словосполучення у сучасній математиці англійською мовою та їх українські відповідники. У дане видання включено понад 50 000 математичних термінів з усіх розділів сучасної математики та пов'язаних з нею наук: алгебри, астрономії, геодезії, геометрії, гідродинаміки, математичного аналізу, економіки, лінгвістики, логіки, теорії функцій (дійсної та комплексної змінних), диференціальних (звичайних і в частинних похідних) та інтегральних рівнянь, функціонального аналізу, варіаційного числення, теорій оптимізації, ймовірності та математичної статистики, топології, дискретної математики, теоретичної кібернетики, механіки, фізики, обчислювальної математики. Наведено перелік найбільш уживаних скорочень у галузі математики.

Приведены наиболее употребляемые термины и словосочетания в современной математике на английском языке и их украинские аналоги. В данное издание включены свыше 50 000 математических терминов со всех разделов современной математики и связанных с ней наук: алгебры, астрономии, геодезии, геометрии, гидродинамики, математического анализа, экономики, лингвистики, логики, теории функций (действительной и комплексной переменных), дифференциальных (обычных и в частичных производных) и интегральных уравнений, функционального анализа, вариационного исчисления, теорий оптимизации, вероятностей и математической статистики, топологии, дискретной математики, теоретической кибернетики, механики, физики, вычислительной математики. Изложен перечень наиболее употребляемых сокращений в отрасли математики.

Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування сингулярною лінійною системою із зосередженими параметрами. З використанням перетворення подібності для сингулярної матриці початкову систему подано у вигляді двох підсистем. До перетвореної задачі застосовано метод множників Лагранжа. В результаті такого підходу одержано нові системи рівнянь Ейлера - Лагранжа. Встановлено достатні умови, за виконання яких оптимальне керування буде єдиним. Також запропоновано виведення матричних диференціальних рівнянь Ріккаті для зазначених вище підсистем. Доведено симетричність матричнозначних розв'язків рівнянь Ріккаті. За допомогою розв'язків цих рівнянь одержано формулу для обчислення мінімального значення критерію оптимальності.

Запропоновано метод для знаходження загального розв'язку системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку. Цей метод є узагальненням методу Ейлера для відшукання загального розв'язку лінійного однорідного диференціального рівняння з частинними похідними. Досліджено аналог методу Ейлера для такої системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Під час розв'язування задач динаміки процесів у суцільних середовищах, теорії теплопровідності і дифузії, теорії оптимального керування виникають рівняння Ріккаті. У випадку систем із зосередженими параметрами потрібно досліджувати звичайні матричні диференціальні рівняння Ріккаті. Для математичних моделей систем із розподіленими параметрами виникають інтегро-диференціальні рівняння Ріккаті, які менше досліджені у порівнянні зі звичайними матричними диференціальними рівняннями Ріккаті. В більшості монографій, присвячених теорії оптимального керування системами із розподіленими параметрами, диференціальні рівняння Ріккаті зовсім не розглядаються. Досліджено лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом теплопровідності. За допомогою методу множників Лагранжа одержано необхідні умови оптимальності. Доведено єдиність оптимального керування. Вперше для такої задачі з використанням дельта-функції Дірака одержано інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. Запропоновано формулу для обчислення розв'язку цього рівняння, за допомогою якої оптимальне керування представлене в замкненій формі.

Для рівняння теплопровідності запропоновано алгоритм перенесення початкової умови, який забезпечує стійкість процедури перенесення початкової умови.

Розглянуто проблему мінімізації квадратичного функціонала на розв'язках другої крайової задачі для рівняння теплопровідності. Для дослідження сформульованої задачі оптимізації застосовано метод множників Лагранжа. Такий підхід надав можливість одержати необхідні умови оптимальності. На основі цих умов виведено інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті з частинними похідними. Розв'язок цього рівняння надано в замкненій формі.

Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом нагрівання тонкого стрижня. Припускається одночасне використання розподілених і граничних керувань. Для цієї задачі запропоновано метод множників Лагранжа, причому функція Лагранжа включає в себе не тільки рівняння з частинними похідними, але і крайові умови. Для розглянутої задачі оптимізації одержано необхідні умови оптимальності. Аналіз цих умов надав можливість вивести інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті.

Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом коливань струни. Для цієї задачі з допомогою методу множників Лагранжа одержано необхідні умови оптимальності. З цих умов виведено систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті. Розв’язок одержаної системи подано в явній формі.

In the present paper the linear-quadratic optimal control problem for vibration process of the string is considered. For this problem the necessary optimality conditions are obtained by using the Lagrange multiplier method. The system of integro-differential Riccati equations is derived from this conditions. The solution of obtained system is represented in closed form.

Розглянуто проблему мінімізації квадратичного функціонала на розв'язках системи диференціальних рівнянь другого порядку. Для дослідження сформульованої задачі оптимізації застосовано метод множників Лагранжа. Такий підхід надав можливість одержати необхідні умови оптимальності. На основі цих умов виведено систему диференціальних рівнянь Ріккаті. Розв'язок одержаної системи надає можливість виписати явну формулу для оптимального керування.

Розглянуто задачу оптимального керування лінійною сингулярною системою з розподіленими параметрами та квадратичним функціоналом. З використанням методу множників Лагранжа одержано рівняння Ейлера - Лагранжа. Для дослідження цих рівнянь виведено матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. Доведено єдиність оптимального керування.

In this paper the problem of optimal control by the linear singular system with distributed parameters and quadratic functional is considered. Using Lagrange multiplier method the Euler–Lagrange equations are obtained. For investigation of these equations the matrix integrodifferential equation Riccati is derived. The uniqueness of optimal control also is proved.

Розглянуто задачу оптимального керування процесом, який описується рівнянням дифузії. Критерій оптимальності є квадратичним зі скінченною верхньою межею. Для розв’язування цієї задачі використовується метод динамічного програмування. В результаті одержано інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. За допомогою цього рівняння розв’язок задачі оптимального керування одержано в замкненій формі.

In this paper we investigate the optimal control problem for the process which is described by the diffusion equation. The criterion of optimality is quadratic with a fixed, finite upper limit. For solving of this problem the method of dynamic programming is used. As result the integrodifferential equation Riccati is obtained. By means of this equation the solution of this optimal problem is obtained in closed form.

Розглянуто задачу оптимізації процесу вісесиметричних коливань кругового кільця. Одержано необхідні умови оптимальності, які представлені у вигляді двоточкової крайової задачі. Для її дослідження виведено систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті з частинними похідними. Розв'язок цієї системи надано в аналітичній формі. Наведено розширену таблицю коренів трансцендентного рівняння, в якому пов'язані функції Бесселя нульового порядку першого та другого роду. Таке рівняння виникає при дослідженні процесів теплопровідності та коливних процесів в тілах циліндричної форми.

Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування вісесиметричними коливаннями круглої мембрани. Запропоновано формулювання вищезгаданої задачі в полярній системі координат. За допомогою методу множників Лагранжа одержано необхідні умови оптимальності. Доведено єдиність оптимального керування. Одержано систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті та додаткові умови для неї. Розв'язок цієї системи надає можливість виписати формулу для обчислення оптимального керування.

Для керованого об'єкта, поведінка якого описується системою двох лінійних диференціальних рівнянь та критерієм якості у вигляді квадратичного функціонала, розглядається задача знаходження оптимального керування. На противагу загальновживаним методам дослідження цієї задачі (принцип максимуму Понтрягіна, метод динамічного програмування Беллмана) запропоновано метод множників Лагранжа. Підхід надав можливість більш ефективно отримати розв'язок досліджуваної задачі оптимізації порівняно із зазначеними вище методами. Мета роботи - одержати формули для обчислення оптимального керування та мінімального значення функціонала якості. Використано методи варіаційного числення. Одержано необхідні умови оптимальності та доведено єдиність оптимального керування. На основі цих умов виведено систему диференціальних рівнянь Ріккаті. Висновки: розв'язок одержаної системи надає змогу виписати явну формулу для оптимального керування та формулу для обчислення мінімального значення функціонала якості. Результати, одержані в роботі, можна використати для дослідження процесу посадки літака.

Досліджено лінійно-квадратичну задачу оптимального керування процесом коливань струни. Актуальність цієї задачі не викликає сумнівів. На противовагу найбільш поширеним методам дослідження цієї задачі (принцип максимума Понтрягіна, метод динамічного програмування Беллмана), використано метод множників Лагранжа. В результаті отримані необхідні умови оптимальності. Встановлені умови, що забезпечують єдиність оптимального керування. Отримано систему інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті та додаткові умови для неї. Розв'язок цієї системи дає можливість представити оптимальне керування в явній формі. Розглянуто конкретний приклад та графічну ілюстрацію основних результатів. В подальшому перспективним є дослідження систем функцій (14) та (16). Розглянуто аналогічну математичну модель із стохастичними параметрами.