Запропоновано метод обліку вертикальної рефракції, що дозволяє значно підвищити точність однобічного тригонометричного нівелювання в періоди нестабільної стратифікації атмосфери. Запропонований метод можна використовувати для обліку вертикальної рефракції електронними тахеометрами.

Запропоновано спосіб визначення впливу вертикальної та горизонтальної складових рефракції та методику її врахування під час вимірювання вертикальних і горизонтальних кутів і віддалей, а також підвищення точності візування.

Розглянуто методику компарування нівелірних рейок, які використовують у нівелюванні IV та III класів, за допомогою електронного тахеометра та відбивних плівок. Для оптимально розрахованих, за запропонованими формулами, віддалей до рейок, залежно від величини визначуваного відрізка на рейці та точності електронного тахеометра, можна одержати відповідну точність компарування таких рейок. Незалежно від величин шуканих інтервалів, віддалі у запропонованій методиці вимірюють електронним тахеометром тільки до декількох інтервалів рейки. Для решти інтервалів віддалі обчислено за запропонованими формулами.

Запропоновано методику врахування диференціальної нівелірної рефракції під час прокладання ходів із великими перевищеннями. Показано, що не для всіх висот візирного променя коливання зображень адекватно відображають аномальну частину вертикальної рефракції.

Розглянуто лінійно-кутовий спосіб визначення інтервалів взірцевого базиса 2-го розряду для еталонування електронних тахеометрів. Виконано експериментальні вимірювання на взірцевому базисі 2-го розряду запропонованим способом. Точність визначення відрізків запропонованим способом одержано порівнянням із безпосередніми вимірюваннями, виконаними прокомпарованою з похибкою 0,006 мм штриховою еталонною мірою довжини (ШЕМД) 3-го розряду за ДСТУ 3741. Під час вимірювання відрізків ШЕМД центри знаків відтворювали з похибкою 0,01 мм за допомогою спеціального пристрою для примусового центрування, а для підвищення точності відлічування його шкали застосовано фотографічний метод фіксації відліків. Різниці виміряних метрових відрізків еталонного базиса ШЕМД в прямому та зворотному напрямках із врахуванням температури штрихової міри не перебільшували 0,02 мм. Експериментальні вимірювання виконано електронним тахеометром LEICA TCA 2003 і створеним спеціальним пристроєм для лінійно-кутових вимірювань. Пристрій надає змогу центрувати спеціальні марки для кутових вимірювань із наклеєними світловідбивними плівками для вимірювання віддалей над центром знака з похибкою 0,02 мм. До початку вимірювань виконано попередні розрахунки точності та визначено приладові поправки тахеометра для кожної відбивної марки кожного пристрою (використано 3 пристрої). У запропонованому способі визначення довжин інтервалів базиса важливе значення має віддаль від тахеометра до кінцевих точок інтервалу. За виведеними формулами [Літинський В. О., 2014], розраховано віддаль від електронного тахеометра до відповідної довжини шуканого інтервалу з заданою точністю вимірювань віддалей і кутів відповідним тахеометром. Виведено формули, які надають змогу знайти допустиму різницю плечей, яка мінімально впливає на точність визначень, від тахеометра до початку та кінця інтервалу. Тахеометр установлювали на розрахованій від шуканого інтервалу базиса віддалі з допустимими різницями плечей, а вимірювання до центрів знаків виконано на створеному спеціальному пристрої. Одержані результати підтвердили попередньо виконані розрахунки. Різниці між відрізками, виміряними запропонованим способом, і відрізками, виміряними ШЕМД, не перевищують для метрових інтервалів 0,14 мм, а десятиметрових - 0,33 мм і відповідають інструктивним матеріалам. Систематичних похибок у різницях не виявлено.

Проаналізовано способи визначення поправки у відліки, спричинені похибкою за перефокусування зорових труб нівелірів. Показано, що за запропонованою методикою можна визначити не тільки поправку у відлік через похибку за перефокусування, але і без додаткових вимірювань знайти вільний від впливу рефракції кут "і" нівеліра для різних плечей нівелювання. Завдяки цьому знайдену величину кута "і" можна вводити в пам'ять нівеліра перед відлічуванням рейок, вилучаючи цим похибку у відліку, спричинену похибкою за перефокусування зорових труб нівелірів.

До неоднорідних гіперболічних рівнянь 2 m-го порядку з неоднорідними початковими умовами застосовано перетворення Лагера та для одержаної в просторі зображень системи еліптичних граничних задач виведено аналог другої формули Гріна. Вона стала основою рекурентного алгоритму для обчислення трансформант через мультишарові та об'ємні потенціали, який дає змогу ефективно знаходити потрібну кількість членів ряду Лагера для апроксимації розв'язку нестаціонарної задачі. Як приклад застосування розглянуто граничні задачі для хвильового рівняння.

Введено означення слабкого розв'язку крайових задач Діріхле та Неймана для нескінченної трикутної системи еліптичних рівнянь в області з ліпшицевою межею. За допомогою спеціальної згортки послідовностей виведено аналоги формул Гріна, побудовано зображення розв'язку через об'ємний та поверхневі потенціали і одержано системи граничних інтегральних рівнянь, еквівалентні крайовим задачам. Для обох задач, з огляду на використання спеціальної згортки, інтегральні рівняння для кожного компонента розв'язку мають той самий оператор лівої частини і відрізняються лише правою частиною, куди входять компоненти з попередніми номерами.

До залежного від часу граничного інтегрального рівняння, яке виникає у разі розв'язування просторових початково-крайових задач Діріхле для однорідного хвильового рівняння з однорідними початковими умовами за допомогою запізнюючого потенціалу простого шару, застосовується перетворення Лагерра за часовою змінною. Одержана система граничних інтегральних рівнянь зводиться до послідовності інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду, які відрізняються лише рекурентно залежними правими частинами. Для знаходження їх числового розв'язку застосовується метод граничних елементів. Встановлено асимптотичну оцінку похибки числового розв'язку. Наведено результати обчислювального експерименту стосовно знаходження розв'язків інтегральних рівнянь з ядром із запізненням для модельних прикладів.

Для узагальнених розв'язків мішаних задач Діріхле та Неймана для однорідного хвильового рівняння з однорідними початковими умовами побудовано подання у вигляді рядів Фур'є - Лагерра. Вони отримані із потенціалів простого та подвійного шарів із запізненням за допомогою перетворення Лагерра. Встановлено умови на дані крайових умов, які гарантують збіжність розв'язків у відповідних вагових просторах Соболева. Коефіцієнти розвинень обчислюємо на основі розв'язків послідовностей граничних інтегральних рівнянь, які знаходимо методом граничних елементів (МГЕ). Встановлено асимптотичне оцінювання похибок чисельних розв'язків. Розроблено швидкий МГЕ на основі адаптивної крос-апроксимацїі матриць алгебричних систем. Результати серії обчислювальних експериментів підтверджують достовірність теоретичних досліджень та доводять ефективність розроблених методів.

До залежного від часу граничного інтегрального рівняння, яке виникає у разі розв'язування просторових початково-крайових задач Діріхле для однорідного хвильового рівняння з однорідними початковими умовами за допомогою запізнюючого потенціалу простого шару, застосовується перетворення Лагерра за часовою змінною. Одержана система граничних інтегральних рівнянь зводиться до послідовності інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду, які відрізняються лише рекурентно залежними правими частинами. Для знаходження їх числового розв'язку застосовується метод граничних елементів. Встановлено асимптотичну оцінку похибки числового розв'язку. Наведено результати обчислювального експерименту стосовно знаходження розв'язків інтегральних рівнянь з ядром із запізненням для модельних прикладів.