Досліджено умови збіжності ітераційних методів Ньютона, в яких допоміжні лінійні задачі розв'язуються наближено. Запропоновано ефективні критерії завершення внутрішніх лінійних ітерацій.

Проведено дослідження двох ітераційних методів ньютонівського типу, які використовують апроксимацію похідної Фреше від нелінійного оператора поділеними різницями або їх лінійною комбінацією. Вивчено локальну та напівлокальну збіжність методів за умов неперервності за Гельдером поділених різниць другого порядку. Встановлено залежність порядку збіжності методів від константи Гельдера.

Проведено дослідження двокрокового ітераційного методу ньютонівського типу, який використовує апроксимацію похідної Фреше нелінійного оператора поділеними різницями. Вивчено локальну збіжність методу за умов, коли перші поділені різниці задовольняють узагальнені умови Ліпшиця. Встановлено умови та швидкість збіжності цього методу, знайдено область єдиності розв'язку рівняння.

Досліджено збіжність неточних методів хорд і Стеффенсена для розв'язування систем нелінійних рівнянь за узагальнених умов Ліпшиця для поділених різниць першого порядку. Розглянуто методи з контролем відносної нев'язки. Результати легко забезпечують оцінку кулі збіжності для неточних методів. Для часткових випадків результати збігаються з відомими.

Досліджено ітераційні алгоритми для розв'язування нелінійних операторних рівнянь, які загалом не вимагають аналітичного задання похідних. Похідні апроксимуються поділеними різницями. Вивчено питання локальної та напівлокальної збіжності методів, єдиності розв'язку рівняння за послаблених умов до нелінійного оператора.

Досліджено збіжність методу з порядком збіжності 1,839... для розв'язування нелінійних операторних рівнянь у банахових просторах за узагальнених умов Ліпшиця для поділених різниць першого та другого порядку. Встановлено умови та швидкість збіжності цього методу, знайдено область єдиності розв'язку задачі.

Обгрунтовано локальну збіжність двокрокового методу типу Ньютона для розв'язування нелінійних функціональних рівнянь за узагальнених умов Ліпшиця для похідних Фреше першого та другого порядків. Встановлено порядок збіжності двокрокового методу та проведено порівняння одержаних результатів із відомими.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено напівлокальну збіжність комбінованого методу для розв'язування нелінійних рівнянь, побудованого на основі методів Ньютона та хорд, і встановлено порядок збіжності. На тестових прикладах з недиференційовним оператором проведено числові експерименти.

Запропоновано нові різницеві і параметричні ітераційні методи для розв'язування нелінійних задач найменших квадратів. Обгрунтовано локальну збіжність методів і знайдено область єдиності розв'язку. Побудовано модифікації методу Гаусса - Ньютона з послідовною та паралельною апроксимаціями оберненого оператора та вивчено їх збіжність.

За єдиною схемою обгрунтовано локальну збіжність найбільш відомих ітераційно-різницевих методів розв'язування нелінійних операторних рівнянь і знайдено радіуси їх збіжності. Вперше застосовано теорію нелінійних мажорант для дослідження напівлокальної збіжності методу хорд, методу Курчатова та методу з надквадратичною збіжністю. Побудовано відповідні мажорантні функції. Запропоновано узагальнення умови Ліпшиця для поділених різниць першого порядку та за цих умов проведено дослідження методу хорд, Стеффенсена, Потра та двокрокового ітераційного методу для нелінійних рівнянь і двокрокової модифікації методу Гаусса - Ньютона для нелінійних задач найменших квадратів. Розроблено й обгрунтовано модифікації параметричних методів з послідовною та паралельною апроксимацією оберненого оператора для нелінійних рівнянь і задач найменших квадратів. Побудовано неточні різницеві ітераційні методи та неточні ньютонівські методи, в яких використовують внутрішні лінійні ітераційні процеси. Проведено обгрунтування ітераційних різницевих методів Курчатова та Потра за умов неперервності за Гьольдером других поділених різниць. Розроблено квазіньютонівські двокрокові ітераційні процеси для нелінійних рівнянь і нелінійних задач найменших квадратів і двокроковий алгоритм для нелінійних рівнянь з негладким оператором. Застосовано методи типу Гаусса - Ньютона для оцінки параметрів розподілу в задачах теорії надійності та нелінійних задач найменших квадратів з обмеженнями типу рівностей і типу нерівностей, розв'язано нелінійні задачі теплопровідності та задачу змішування потоків у каналах, що звужуються.

Досліджено локальну збіжність прискореного методу Ньютона для розв'язування нелінійних функціональних рівнянь за узагальнених умов Ліпшиця для похідних Фреше першого та другого порядків. Встановлено квадратичний порядок збіжності прискореного методу та проведено порівняння його з класичним методом Ньютона.

Розглянуто одновимірні нестаціонарні нелінійні задачі теплопровідності за умови, що коефіцієнти теплоємності і теплопровідності задані аналітично та таблично. З допомогою інтегро-інтерполяційного методу нелінійна крайова задача зведена до системи нелінійних рівнянь. Числове розв’язування цієї системи виконано за допомогою двопараметричного методу типу хорд. Наведено числові результати розв’язку розглянутої задачі.

The nonstationary nonlinear heat conduction problem is considered given that heat capacity and coefficient of heat conductivity are set analytically and tabularly. According to balance method, the nonlinear boundary problem is reduced to a system of nonlinear equations. This system is numerically solved by two parametric secant type methods. The numerical results of the considered problem are presented.

Досліджено локальну та напівлокальну збіжність комбінованого ітераційного процесу для розв'язування нелінійних операторних рівнянь, побудованого на основі методу Ньютона та методу з порядком збіжності 1.839.. Встановлено радіус області збіжності та порядок збіжності запропонованого методу. На тестових прикладах з недиференційовним оператором проведено числові експерименти.

Вивчено локальну та напівлокальну збіжність комбінованого методу Ньютона - Курчатова для розв'язування нелінійних операторних рівнянь. Дослідження збіжності проведено за класичних умов Ліпшиця для перших похідних і поділених різниць першого та другого порядку. Встановлено радіус кулі збіжності та квадратичний порядок збіжності комбінованого ітераційного процесу. Знайдено область єдиності розв'язку нелінійного рівняння.

Запропоновано нові модифікації ітераційно-різницевих методів для розв'язування нелінійних рівнянь. На багатьох тестових задачах виконано числове дослідження цих модифікацій і відомих базових методів і порівняно одержані результати.

Досліджено ітераційно-різницевий метод розв'язування нелінійної задачі про найменші квадрати, який не потребує обчислення матриці похідних. Доведено теорему, яка обгрунтовує збіжність, та визначено швидкість збіжності розглянутого методу. Наведено результати числового експерименту.

Запропоновано однокрокову та двокрокову модифікації методу хорд з використанням апроксимації похідної Фреше поділеними різницями. Вивчено локальну збіжність однокрокового методу у випадку, коли поділені різниці задовольняють узагальнену умову Ліпшиця. Знайдено умови та швидкість збіжності цього методу, виявлено область єдиності розв'язку задачі. Проведено порівняння запропонованих методів на тестових прикладах.

Запропоновано двопараметричні одно- і двокроковий методи типу хорд для розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь. Вивчено напівлокальну збіжність однокрокового методу у випадку, коли поділені різниці першого порядку задовольняють умову Ліпшиця з константою L. На тестових задачах проведено числове дослідження та зроблено порівняння одержаних результатів.

Застосовано прискорений метод Ньютона та різницеві методи (метод хорд і метод Курчатова) для розрахунку періодичних режимів у нелінійних динамічних системах. Сформульовано алгоритм розв'язування задачі. На тестових прикладах проведено числове дослідження методів і виконано порівняння одержаних результатів.