Досліджено проблему існування обмежених розв'язків на всій дійсній осі лінійних неоднорідних систем диференційних рівнянь, які зазнають імпульсні збурення у фіксовані моменти часу. Знайдено достатні умови гіперболічності розв'язків однорідної багатовимірної системи диференціальних рівнянь з імпульсним впливом. Отримані умови застосовано для дослідження обмежених розв'язків неоднорідної імпульсної системи. Сформульовано достатні умови існування єдиного обмеженого розв'язку до неоднорідної системи для випадку слабкої регулярності відповідної однорідної системи. Перевагою такого підходу є те, що знайдені умови можуть бути ефективно перевірені для конкретних класів імпульсно-збурених систем, оскільки сформульовані у термінах коефіцієнтів вихідних задач. Отримані умови надають можливість застосувати класичні методи диференціальних рівнянь для одержання тверджень про розв'язність та неперервну залежність розв'язків від параметрів імпульсної системи. Теорія систем з імпульсним впливом має широке коло застосувань. Численні еволюційні процеси у фізіці, техніці, автоматичному регулюванні, біології, економіці на протязі свого розвитку можуть піддаватись короткочасним впливам, тривалістю яких можна знехтувати. Наприклад, процеси зі скачкоподібними змінами спостерігаються у механіці (рух пружини за ударного впливу, робота годинникового механізму, зміна швидкості ракети у разі відокремлення ступенів), в радіотехніці (генерація імпульсів), в біології (робота серця, поділ клітин, передача сигналів нейронами), в теорії контролю (робота промислових роботів). Тому якісне дослідження імпульсних систем у є актуальною задачею в сучасній теорії математичного моделювання.

Processes that involve jump-like changes are observed in mechanics (the movement of a spring under an impact; clockwork), in radio engineering (pulse generation), in biology (heart function, cell division). Therefore, high-quality research of pulse systems is a relevant task in the modern theory of mathematical modeling. This paper considers the issue related to the existence of bounded solutions along the entire real axis (semi-axis) of the weakly nonlinear systems of differential equations with pulse perturbation at fixed time moments. A concept of the regular and weakly regular system of equations for the class of the weakly nonlinear pulse systems of differential equations has been introduced. Sufficient conditions for the existence of a bounded solution to the heterogeneous system of differential equations have been established for the case of poorly regularity of the corresponding homogeneous system of equations. The conditions for the existence of singleness of the bounded solution along the entire axis have been defined for the weakly nonlinear pulse systems. The results were applied to study bounded solutions to the systems with pulse action of a more general form. The established conditions make it possible to use the classical methods of differential equations to obtain statements about solvability and the continuous dependence of solutions on the parameters of a pulse system. It has been shown that classical qualitative methods for studying differential equations are mainly naturally transferred to dynamic systems with discontinuous trajectories. However, the presence of a pulse action gives rise to a series of new specific problems. The theory of systems with pulse influence has a wide range of applications. Such systems arise when studying pulsed automatic control systems, in the mathematical modeling of various mechanical, physical, biological, and other processes.