We present an informal discussion of recent results on the asymptotic behaviour of orthogonal polynomials, in particular orthogonal polynomials with varying weight, emphasizing links with spectral theory. We apply some of these results to find the leading term of the covariance of linear statistics of certain unitary invariant ensembles of random matrix of large order.

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.5

Рубрики:

Випадкові процеси і випадкові функції

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.521

Рубрики:

Гаусові випадкові процеси

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Одержано рівняння для перетворення Стілтьєса нормованого розподілу сингулярного числа несиметричних випадкових бенд-матриць в межі, коли ширина смуги і розмірність матриць одночасно прагнуть до нескінченності. Знайдено умови, за яких ця межа узгоджується з чверть-круговим законом. Також розглянуто цікавий окремий випадок нижньо-трикутних випадкових матриць і наведено певні властивості відповідного граничного розподілу сингулярних чисел.

Індекс рубрикатора НБУВ: В171.5 + В162.63

Рубрики:

Випадкові процеси і випадкові функції

Нелінійні оператори і нелінійні операторні рівняння

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто одновимірні граткові моделі та відповідні їм результати, що описують низькотемпературні властивості квазіодновимірних граткових систем із далекодіючою взаємодією. Широко відомим прикладом таких систем є вузькозонні низьковимірні провідники з далекодіючим потенціалом електрон-електронного відштовхування. В розглянутих моделях частинки розташовані на одновимірній гратці-матриці (ланцюжку), трансляційно-інваріантній або невпорядкованій, і взаємодіють через далекодіючий потенціал відштовхування. Наведено результати щодо трансляційно-інваріантної гратки-матриці, а саме: низькотемпературна термодинаміка, несумірний основний стан і пов'язана з ним структура "чортових" сходів, різні характеристики як функції відповідних параметрів, самолокалізація частинок, нова гілка елементарних збуджень тощо. Розглянуто невпорядкований випадок, коли вузли гратки-матриці випадково флуктують навколо вузлів періодичного ланцюжка. Низькотемпературну термодинаміку та структуру основного стану таких систем досліджено в межах певної моделі, яку називають кластерною та яка є досить розумним наближенням за низьких температур і малих концентрацій частинок. За допомогою аналітичних і числових методів проаналізовано термодинаміку та основний стан моделі. Останній виявляється послідовністю випадкових доменів, розподіл яких досліджено детально.

Описано вирішальну роль Б. І. Вєркіна у поверненні з забуття імені Л. В. Шубникова та у відновленні місця, гідного його внеску у фізику низьких температур та її застосування. Наведено стислий огляд робіт Л. В. Шубникова, деякі з яких мають рівень Нобелівської премії. Описано заснування Б. І. Вєркіним Фізико-технічного інституту низьких температур. Окреслено історію написання книги про Шубникова та видатні зусилля Б. І. Вєркіна у здійсненні цього останнього, за його словами, досягнення життя.

Розглянуто модель квантової системи двох кубітів занурених у спільне середовище, припускаючи, що частини гамільтоніана моделі, що вiдповідають середовищу, описуються ермітовими випадковими матрицями розміру N. Знайдено приведену матрицю щільності двох кубітів у границі нескінченного N. Для проведення дослідження використано аналог асимптотичного режиму Боголюбова - ван Хова теорії відкритих систем та статистичної механіки. Цей режим не призводить до Марковської динаміки приведеної матриці щільності даної моделі і надає змогу здійснити детальний аналітичний і числовий аналіз еволюції кількісних показників квантових кореляцій, перш за все квантової заплутанності. Знайдено декілька нових форм динаміки кубітів, порівняно з тими, що мають місце у випадку незалежних середовищ, розглянутих в даній роботі. Ці форми демонструють важливу роль спільного середовища у посиленні та диверсифiкації квантових кореляцій, зумовлених непрямою (через середовище) взаємодією між кубітами. Одержані результати, частково відомі, а частково нові, можна розглядати як демонстрацію універсальності деяких властивостей декогерентної еволюції кубітів, що було знайдено в різних точних та наближених версіях моделi двох кубітів з макроскопічним бозонним середовищем.