Досліджено задачі одностороннього контакту без тертя й ідеального механічного контакту кількох пружних тіл. Розглянуто їх еквівалентні формулювання у формі проблеми мінімуму функціонала Лагранжа й у формі варіаційної нерівності. Доведено збіжність методу простої ітерації для абстрактних варіаційних рівнянь з нелінійним доданком і показано, що швидкість збіжності у деякій енергетичній нормі є лінійною. Розроблено методику числової реалізації даних схем декомпозиції області для плоских контактних задач з використанням скінченно-елементних апроксимацій на лінійних і квадратичних трикутних елементах і межовоелементних апроксимацій на лінійних граничних елементах. Проведено числове дослідження ряду задач, яке показує добре узгодження результатів з теоретичними висновками щодо збіжності даних схем методів декомпозиції області та дозволяє виявити нові механічні ефекти.

На базі варіаційного формулювання та методу штрафу розглянуто паралельну схему Неймана методу декомпозиції області для розв'язування задач одностороннього контакту просторових пружних тіл. Показано існування та єдиність розв'язку варіаційної задачі зі штрафом і збіжність за параметром штрафу. Доведено збіжність схеми та визначено оптимальне значення ітераційного параметра.

Досліджено методи декомпозиції області для числового розв'язування задач про односторонній контакт без тертя багатьох пружних тіл скінченних розмірів. З використанням скінченноелементних апроксимацій розв'язано задачі про односторонній контакт трьох пружних тіл, стиснених жорсткими плитами, та контакт трьох закріплених тіл, одне з яких перебуває під дією зовнішнього навантаження. Вивчено розподіл нормальних контактних та еквівалентних напружень у тілах.

Здійснено еквівалентні варіаційні формулювання задачі про односторонній контакт пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів у формі неквадратичної варіаційної нерівності та нелінійного варіаційного рівняння (НВР). Досліджено існування та єдиність розв'язку цих варіаційних задач. Для розв'язування НВР, що відповідає вихідній контактній задачі, запропоновано клас паралельних ітераційних методів декомпозиції області, які полягають у паралельному розв'язуванні на кожному кроці лінійних варіаційних рівнянь в окремих тілах, еквівалентних у слабкому розумінні задачам теорії пружності з умовами Робіна на зонах можливого контакту. Проведено числові дослідження ефективності одержаних методів з використанням скінченноелементних апроксимацій.

Запропоновано комбінований алгоритм для розв'язування задач про контакт пружних тіл. В алгоритмі застосовано поєднання ітераційного методу декомпозиції області та h-адаптивної схеми, яка базується на порівнянні результатів методу скінченних елементів і методу граничних елементів. Числовий аналіз тестової задачі показав, що згущення сітки, здійснюване згідно з алгоритмом, відповідає особливостям поля напружень в області контакту, а загальна кількість невідомих значно зменшується у порівнянні з випадком рівномірного розбиття.

На базі методу штрафу запропоновано ряд континуальних паралельних схем декомпозиції області для розв'язування задач про ідеальний механічний контакт пружних тіл. Доведено теореми про збіжність деяких із цих схем. Досліджено питання оптимального вибору ітераційних параметрів. Показано зв'язок одержаних схем з методами декомпозиції області без штрафу.

Методом декомпозиції області досліджено контактну взаємодію двох пружних тіл скінченних розмірів з крайовою виїмкою. Проаналізовано вплив розмірів тіл та зовнішнього навантаження на контактне напруження. Здійснено порівняння числових результатів з аналітичним розв'язком, отриманим для контакту двох півпросторів. Встановлено межі застосовності моделі пружних півпросторів.

Розглянуто задачу про контактну взаємодію двох пружних тіл, одне з яких має покриття у вигляді тонкої оболонки типу Тимошенка, що з'єднане з тілом через нелінійний вінклерівський прошарок. Здійснено слабке формулювання цієї задачі у вигляді нелінійного варіаційного рівняння. Запропоновано клас ітераційних методів декомпозиції області, які зводять розв'язування цього рівняння до розв'язування на кожній ітерації незалежних лінійних варіаційних рівнянь, що відповідають задачам теорії пружності для масивних тіл та задачі теорії оболонок Тимошенка для покриття з крайовими умовами Робіна на межах контакту. Встановлено умови слабкої збіжності цих методів. Проведено дослідження числової ефективності одержаних алгоритмів з використанням скінченноелементних апроксимацій.

Запропоновано паралельні ітераційні методи декампозиції області для розв'язування вісесиметричної задачі про контакт пружних тіл. Визначено умови слабкої збіжності цих методів. Зі застосуванням скінченноелементних апроксимацій розроблені методи апробовано для дослідження контактної взаємодії двох пружних тіл обертання, одне з яких має поодиноке дискретне циліндричне пружне покриття. Вивчено вплив висоти та жорсткості покриття на контактні та міжфазні напруження.

Розглянуто задачу про контактну взаємодію багатьох пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів. Для розв'язування нелінійного варіаційного рівняння з недиференційовним оператором, що відповідає цій контактній задачі, запропоновано неявні двоточкові комбіновані диференціально-різницеві паралельні ітераційні алгоритми декомпозиції області типу Робіна. Здійснено програмну реалізацію цих алгоритмів для випадку плоских контактних задач на основі скінченноелементних апроксимацій. Проведено порівняння числової ефективності двоточкових та одноточкових ітераційних методів декомпозиції області для задачі про контакт через нелінійний вінклерівський прошарок двох пружних тіл з виїмкою.

Розглянуто термопружну контактну задачу для декількох тіл за умов одностороннього механічного контакту через нелінійні вінклерівські поверхневі шари та умов неідеального теплового контакту. Отримано слабке формулювання цієї задачі у вигляді системи варіаційного рівняння і варіаційної нерівності, а також альтернативне слабке формулювання у вигляді системи лінійного і нелінійного варіаційних рівнянь. Для розв'язування системи варіаційних рівнянь термомеханічної контактної задачі розроблено паралельні ітераційні алгоритми декомпозиції області типу Робіна, на кожному кроці яких необхідно розв'язувати два лінійні варіаційні рівняння для кожного з тіл, одне з яких відповідає задачі теплопровідності з умовами Ньютона на ділянках можливого контакту, а інше - задачі теорії пружності з умовами Робіна на цих ділянках і додатковими об'ємними силами. Проведено аналіз числової ефективності запропонованих алгоритмів для плоскої термомеханічної задачі про контакт двох пружних тіл з використанням скінченноелементних апроксимацій.