Запропоновано метод побудови повних асимптотичних розкладів для власних значень і власних функцій крайових спектральних задач для звичайних диференціальних рівнянь із швидко змінними коефіцієнтами для випадку кратного спектра усередненої задачі. Ефект розщеплення кратних власних значень показано на прикладі конкретної задачі четвертого порядку.

Знайдено необхідні та достатні умови розв'язності двоточкової крайової задачі для систем лінійних диференціальних рівнянь другого порядку в критичному випадку, коли відповідна однорідна крайова задача має нетривіальні розв'язки. Побудовано загальний розв'язок даної крайової задачі.

За спостереженнями стану систем, описаних крайовими задачами трансмісії для лінійних еліптичних рівнянь другого порядку, знайдено мінімаксні оцінки для функціоналів від розв'язків цих крайових задач. Передбачено, що умови спряження є невідомими, а відносно правих частин рівнянь, граничних умов і похибок вимірювань відомо лише, що вони належать деяким заданим множинам. Знайдено системи інтегро-диференціальних рівнянь спеціального вигляду, через розв'язки яких виражено мінімаксні оцінки і доведено їх однозначну розв'язність.

Викладено загальну теорію лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку з постійними коефіцієнтами і рівняння, що наведено до них. Запропоновано розв'язки крайових задач для одномірних диференціальних рівнянь та їх систем. Особливу увагу акцентовано на побудові функцій та матриць Гріна, а також знаходженні властивих значень задачі Штурма-Ліувілля.

Изложена общая теория линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами и уравнений, которые приведены к ним. Предложено решения краевых задач для одномерных дифференциальных уравнений и их систем. Особое внимание акцентировано на построении функций и матриц Грина, а также нахождении свойственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

Запропоновано та досліджено агрегаційно-ітеративний алгоритм наближеного розв'язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Сформульовано та доведено достатні умови збіжності запропонованого методу.

Установлено диференціальні властивості узагальнених розв'язків багатоточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

За допомогою методу усереднення доведено розв'язність крайових задач з параметрами для нелінійних коливних систем, що зазнають імпульсного впливу у фіксовані моменти часу. Встановлено також оцінки відхилень розв'язків вихідної та усередненої задач.

Запропоновано загальну схему двосторонньої апроксимації розв'язків крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, яка охоплює низку відомих і нових двосторонніх методів. Під час дослідження використано конструкції числово-аналітичного методу А. М. Самойленка у поєднанні з методикою побудови двосторонніх методів, запропонованою в роботах М. С. Курпеля та Б. А. Шувара.

Побудовано алгоритм двосторонньої апроксимації розв'язку багатоточкової крайової задачі для квазілінійного диференціального рівняння з параметрами за припущень, які є двосторонніми аналогами В-монотонності за Ю. Покорним правої частини рівняння. Встановлено умови монотонності послідовних наближень та їх рівномірної збіжності до розв'язку задачі.

Знайдено оцінку області значень малого параметра, для яких зберігається збіжність ітераційної процедури для побудови розв'язків автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку.

С помощью метода усреднения исследована разрешимость краевой задачи для многочастотной системы с отклоненным аргументом и интегральными краевыми условиями, а также получена оценка разности решений исходной и усредненной задач.

Висвітлено питання побудови мінімаксних середньоквадратичних оцінок для функціоналів залежно від розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого порядку та диференціальних рівнянь за спостереженнями, що використовують інформацію про самі розв'язки та про їх похідні. За результатами досліджень задачі мінімаксного оцінювання зведено до спеціальних задач оптимального керування спряженими рівняннями з квадратичними критеріями якості у разі обмежень і без обмежень на керування. Доведено теореми про загальний вигляд мінімаксних оцінок фунціоналів і знайдено похибки оцінювання. Встановлено, що ці оцінки визначаються через розв'язки деяких систем диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь з частинними, або звичайними похідними, для яких доведено їх однозначну розв'язність.

В дисертації досліджено крайові задачі з нетеровою лінійною частиною для диференціальних та імпульсних систем з повільними та швидкими змінними та для різницевих систем. Запропоновано та обгрунтовано метод дослідження таких крайових задач, який грунтується на застосуванні теорії узагальнено-обернених матриць та методу Ляпунова-Шмідта. Отримані коефіцієнтні достатні та необхідні умови розв'язності таких задач в критичних випадках, коли відповідна породжуюча крайова задача має нетривіальні розв'язки. Запропоновані збіжні ітераційні алгоритми побудови таких розв'язків.

Розглянуто питання конструктивного аналізу нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсами у фіксовані моменти часу. Встановлено необхідні та достатні умови розв'язку загальних нетерових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та без неї. Побудовано узагальнені матричні функції Гріна відповідних крайових задач та узагальнений оператор Гріна, досліджено їх властивості. Розв'язано задачу регуляризації не скрізь розв'язної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі за допомогою слабких збурень коефіцієнтів імпульсної системи та крайових умов. Отримано коефіцієнтну умову виникнення розв'язку слабкозбуреної імпульсної лінійної нетерової крайової задачі в тому випадку, коли відповідна породжуюча крайова задача не має розв'язків. Для слабкозбурених нелінійних крайових задач отримано необхідну та достатню умови існування розв'язку в критичному випадку, побудовано аналог рівняння для породжуючих амплітуд.

Запропоновано новий підхід щодо дослідження операторних рівнянь з обмеженнями, згідно з яким керування вводиться в обмеження. За допомогою даного підходу встановлено умови їх сумісності. На основі результатів, які одержано для даних рівнянь, визначено умови сумісності нелінійного інтегрального рівняння з обмеженнями. Розроблено інтеграційний та модифікований проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв'язків операторних рівнянь з обмеженнями. Визначено достатні умови збіжності та оцінки похибки зазначених методів. Застосовано інтеграційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до лінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями, надано обгрунтування методів і на їх основі запропоновано зручні обчислювальні схеми. Встановлено умови сумісності нелінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями. Обгрунтовано застосування до неї ітераційного та модифікованого проекційно-ітеративного методів. На основі даних методів розроблено обчислювальні схеми.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.61-3 + В162.10

Рубрики:

Звичайні диференціальні рівняння

Шифр НБУВ: РА323209 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Використано метод усереднення для вивчення розв'язності крайових задач для деяких класів нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з повільними та швидкими рухами. Показано, що такого типу системи застосуються в математичній теорії багаточастотних систем і в теорії нелінійних коливань. Розв'язано багатоточкові задачі для коливних систем з майже періодичними за швидкими змінними правими частинами і залежними від повільних змінних частотами. Встановлено кількісну залежність похибки методу усереднення від величини малого параметра. Доведено нові теореми існування та єдиності розв'язків крайових задач з параметрами і багатоточковими та інтегральними крайовими умовами для коливних систем, частоти яких залежать від "повільного часу". Подано оцінки частинних похідних за початковими даними і параметрами різниці розв'язків задачі Коші для вихідних та усереднених коливних систем з імпульсним впливом. Знайдені оцінки використано для розв'язання крайових задач з параметрами та без них для імпульсних систем.

Розроблено й обгрунтовано новий числово-аналітичний метод дослідження існування та побудови періодичних розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь і розв'язків, які задовольняють лінійні крайові умови. Для знаходження розв'язків побудовано послідовні наближення, знайдено умови й оцінки їх рівномірної збіжності, зв'язок межової функції з точними розв'язками. Встановлено модифікації методу, які досліджують задачі у некритичному та в критичному випадках. Визначено теорію систем лінійних диференціальних рівнянь з виродженою матрицею за похідної, які зводяться до центральної канонічної форми та піддаються імпульсному збуренню. Висвітлено необхідні та достатні умови існування та побудовано в аналітичному вигляді розв'язки лінійної нетерової крайової задачі для вироджених диференціальних систем з імпульсною дією типу "interface conditions".

Наведено результати дослідження асимптотики власних значень і власних функцій та розвинення за ними крайових задач для звичайних диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з мірами в коефіцієнтах. Побудовано відповідні асимптотичні формули та наведено умови, за яких можна розвивати функції в ряди за власними функціями. Увагу приділено асимптотиці фундаментальної системи розв'язків квазідиференціального рівняння, побудові скалярної функції Гріна та її властивостям, оцінці квазіпохідних функції Коші, розвиненню за власними функціями крайової задачі для диференціального рівняння.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.61-3 + В162.13

Рубрики:

Звичайні диференціальні рівняння

Лінійні оператори і лінійні операторні рівняння

Шифр НБУВ: Ж16294 Пошук видання у каталогах НБУВ