Одержано достатні умови існування поліноміальних атракторів і поліноміальної рівноваги.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.637

Рубрики:

Ортогональні поліноми

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено зв'язок між теорією ортогональних поліномів на одиночному колі та спектральною теорією одного класу матричних різницевих рівнянь, відомих як рівняння Сеге. Ключову роль відіграє матрична форма рекурентних відношень Сеге, які цілком визначаються послідовністю комплексних чисел з відкритого одиничного круга (кругових параметрів). Структуру мір (абсолютно безперервну та сингулярну компоненти) з повільно спадними круговими параметрами вивчено за допомогою теорії рівномірно збіжних рядів Фур'є.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.637

Рубрики:

Ортогональні поліноми

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Зазначено, що ортогональні поліноми на одиничному колі повністю визначаються своїми круговими параметрами за допомогою рекурентних відношень Сеге. Досліджено дискретний спектр (множину точкових мас) мір, які задані своїми круговими параметрами. Суттєво відрізняються випадки, коли ці параметри збігаються до нуля або до ненульового комплексного числа з відкритого одиничного кола. Наведено нові приклади сингулярних неперервних мір у термінах їх кругових параметрів.

Исследованы свойства симметричных полиномов Лежандра - Соболева, ортогональных относительно индефинитной билинейной формы. Показано, что эти полиномы порождают пространство Понтрягина - Соболева с рангом индефинитности, равным 2.

We present an informal discussion of recent results on the asymptotic behaviour of orthogonal polynomials, in particular orthogonal polynomials with varying weight, emphasizing links with spectral theory. We apply some of these results to find the leading term of the covariance of linear statistics of certain unitary invariant ensembles of random matrix of large order.

Вивчено ортогональні поліноми вищих порядків в областях з вагою за умови, що крайові та вагові функції мають сингулярності та не задовольняють умови накладання.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.637.3

Рубрики:

Поліноми Якобі

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.637

Рубрики:

Ортогональні поліноми

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Запропоновано два підходи до розв'язання класичної задачі Лемба про дію зосередженої сили на границю пружного півпростору: за допомогою інтегрального перетворення Лапласа та методу поліномів Лагерра, причому в першому випадку вдалося отримати аналітичний вираз вертикального переміщення границі пружного півпростору. Доведено ефективність застосування другого підходу до розв'язання цієї задачі.

Розглянуто системи поліномів, що є перетвореннями Мелліна (зі степеневими ядрами) функцій, аналітичних у нескінченно віддаленій точці. Досліджено умови зображення поліномів і біортогональних з ними функцій у вигляді контурних інтегралів. Вивчено також достатні умови розвитку аналітичних функцій у ряди за системами поліномів. Наведено приклади розвитку функцій у ряди та побудову розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Встановлено деякі основні властивості нулів ортонормальних багаточленів на радіальних променях. Введено проблему моментів, яка відповідає цим ортонормальним багаточленам, та одержано необхідні і достатні умови її розв'язності. Встановлено деякі властивості ортонормальних багаточленів у випадку, коли міра ортогональності має симетрії, і показано, що проблема моментів має розв'язки з деякими симетричними властивостями.

Рассмотрена проблема существования решений задачи оптимального управления для нелинейного эллиптического уравнения с условиями Дирихле на границе при условии, что функциями управлений являются коэффициенты в главной части дифференциального оператора. Показано, что такая задача имеет оптимальные решения в классе обобщенно-соленоидальных матриц.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.637 + В161.74

Рубрики:

Ортогональні поліноми

Інтегро-диференційні рівняння

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено розвиток методу абстрактних граничних умов у теорії розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі. Для секторіального лінійного оператора або секторіального лінійного відношення наведено параметричний опис усіх максимальних акретивних і максимальних секторіальних розширень, їх резольвент та спряжених операторів у термінах абстрактних граничних умов. Абстрактні результати застосовано для опису відповідних граничних задач диференціальних операторів другого порядку. Побудовано функціональну модель простого щільно заданого секторіального оператора. Отримано нові зображення замкнених у термінах резольвент асоційованого оператора та породженої ним однопараметричної підгрупи.

  Скачати повний текст

Досліджено прямі та обернені спектральні задачі для (2N + 1)-діагональних, комплексних, симетричних матриць, вивчено властивості багаточленів, пов'язаних з п'ятидіагональними, ермітовими, напівнескінченними матрицями. Вивчено відповідну проблему моментів та її модифікації (симетричну проблему моментів з особливістю в нулі та симетричну проблему моментів). Для (2N + 1)-діагональних, комплексних, симетричних матриць розв'язано пряму й обернену задачі спектрального аналізу. Для систем багаточленів, пов'язаних з п'ятидіагональними, комплексними, ермітовими матрицями, доведено співвідношення ортонормальності на дійсній та уявній осях у комплексній площині, що є характеристичними. Побудовано фундаментальну систему розв'язків відповідного різницевого рівняння 4-го порядку. Для симетричної проблеми моментів з особливістю у нулі одержано критерій розв'язності. З симетричною проблемою моментів пов'язано пару функцій та одержано їх асимптотичні властивості. Доведено умови розв'язності симетричної проблеми моментів. Відзначено, що результати роботи можуть бути використані за подальшого теоретичного та практичного дослідження (2N + 1)-діагональних багаточленів, комплексних, симетричних матриц, у теорії ортогональних багаточленів та різних задачах, зокрема в інтерполяційних задачах.

Запропоновано новий підхід до теорії ортогональних поліномів на одиничному колі як теорії матрицевих різницевих рівнянь першого порядку, який дає змогу одержати опис абсолютно неперервної компоненти міри ортогональності та критерії її абсолютної неперервності в термінах асимптотики норм фундаментальних матриць. Такий підхід дає змогу одержати критерії відсутності точкових мас у міри на дузі кола, заданої своїми коловими параметрами. Запропоновано новий метод дослідження ортогональних поліномів на колі, що грунтується на спектральній теорії унітарних матриць Хессенберга в гільбертовому просторі. Одержано прямі та зворотні теореми для стискальних голоморфних функцій у термінах параметрів Шура. Уведено та описано новий клас універсальних мір на колі. Знайдено нові кількісні характеристики мір на дузі кола та одержано асимптотику відповідних ортогональних поліномів у термінах колових параметрів. Досліджено узагальнені якобієві вагові функції та знайдено оцінки ортогональних поліномів першого та другого родів.

Висвітлено основи методу ортогональних поліномів, деякі питання його обгрунтування та застосування до розв'язання інтегральних рівнянь з особливостями у ядрі (у тому числі з нерухомими особливостями). У зв'язку з питаннями числової реалізації методу ортогональних поліномів наведено квадратурну формулу для інтегралів з поліномами Якобі та квадратурну формулу Гаусса. Розглянуто приклади конкретних задач теплопровідності та теорії пружності, для розв'язання яких використано метод ортогональних поліномів. Шляхом зведення до інтегралів типу згортки Мелліна обчислено спеціальні інтеграли з класичними поліномами. Наведено список найбільш корисних і часто використовуваних спектральних співвідношень на скінченному та напівскінченному інтервалах, а також деякі інтеграли з класичними поліномами, що часто зустрічаються під час розв'язання задач математичної фізики (задачі теплопровідності та теорії пружності).