Індекс рубрикатора НБУВ: В192.13,0 + В192.162.213,0

Рубрики:

Метод кінцевих різниць. Метод сіток

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: ДС49882 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Дисертацію присвячено дослідженню швидкості збіжності різницевих схем для змішаних граничних задач на власні значення (рівняння із змінними коєфіцієнтами в прямокутнику та система рівнянь лінійної теорії пружності в тривимірному брусі). Доведено збіжність дискретних розв'язків до відповідних їм диференціальних. Порядок точності різницевих аналогів при обчисленні власних значень з'ясовано за допомогою одержаних в дисертації головних доданків в розкладах за степенями кроку рівномірної сітки для похибок власних чисел обох задач. Показано, що певні умови опуклості для коефіцієнтів еліптичного оператора визначають характер наближення різницевих власних значень до відповідних їм точних. Паралельно із встановленням асимптотичної оцінки точності для рівняння із змінними коефіцієнтами вивчається питання про диференціальні властивості власних функцій та доведено достатню умову неперервності їх похідних потрібного порядку. Швидкість збіжності схем при обчисленні власних функцій обох задач характеризується оцінками в різних сіткових метриках при послаблених припущеннях щодо гладкості розв'язків. Одержані в дисертації результати теоретично обгрунтовують застосовність методів прискорення збіжності, дають можливість уточнити власні значення без побудови різницевих аналогів високих порядків точності та проілюстровані чисельними прикладами.

Автор пропонує та досліджує новий клас різницевих апроксимацій - різницеві оператори Лапласа на неортогональних шаблонах прямокутної сітки. Детально розглянуто два важливі випадки - оператор на неортогональному семиточковому шаблоні на площині та на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі. Проведено аналіз спектральних та дисперсійних властивостей цих операторів. Доведено, що дисперсійні властивості різницевих схем на неортогональних шаблонах кращі за дисперсійні властивості звичайних схем на прямокутних сітках. Одержано оцінки точності схем, що використовують неортогональні шаблони, для еліптичних та гіперболічних рівнянь з негладкими розв'язками. Доводиться, що для схеми з оператором на семиточковому шаблоні вибором правої частини можна досягти четвертого порядку апроксимації як для еліптичного, так і для гіперболічного випадку. Запропоновано прямі методи розв'язування схем на неортогональних шаблонах. Показано, що перехід на прямокутну сітку для двовимірного рівняння дозволив збільшити ефективність алгоритмів у два рази, порівняно із трикутною сіткою, причому без погіршення апроксимаційних та дисперсійних властивостей схеми.

Приведена теория ограничительных функций и ее возможности для построения монотонных (квазимонотонных) разностных схем для систем нелинейных уравнений гиперболического типа. Для определяющего функционального уравнения, производящего ограничительные функции, построены алгоритмы размножения решений. Рассмотрен класс полиномиальных ограничителей.

Дисертацію присвячено побудові нових конструктивних зображень розв'язків для абстрактної задачі Гурса зі змінним, обмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі та задачі Коші для лінійного гіперболічного рівняння першого порядку зі змінним необмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. Для отримання розв'язків вказаних задач використано FD-метод. На підставі зображень точних розв'язків побудовано наближені методи розв'язування задачі Гурса та задачі Коші, одержано апріорні оцінки точності отриманих наближень. Встановлено необхідні та відповідні умови того, щоб розв'язки даних задач були поліномами, якщо вихідні дані задач (початкові умови та праві частини рівнянь) є поліномами.

Для двовимірного рівняння параболічного типу (типу турбулентної дифузії) засобом нелінійної регуляризації, використовуючи схему розщеплення, побудовано двошарові неявні монотонні схеми другого порядку. Доведено стійкість розроблених схем, отримано мажорантні оцінки для нелінійних різницевих операторів і оцінку швидкості збіжності різницевого розв'язку. Проведено тестові розрахунки з моделювання процесів переносу та дифузії у двовимірній області.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.211

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь гіперболічного типу

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Сформульовано узагальнені математичні моделі прикладних задач, пов'язаних з сингулярними багатопараметричними задачами про власні значення. Розроблено та теоретично обгрунтовано метод розв'язування проблеми власних значень сингулярних спектральних задач, що грунтується на двосторонній апроксимації власних значень сингулярної задачі на урізаній області визначення диференціального оператора з виключеними особливостями та крайовими умовами Діріхле і Неймана на межі області урізання. Запропоновано та досліджено модель поверхні області нестійкості плазми з урахуванням і неврахуванням тиску плазми. Розроблено методику побудови поверхні рівня власних значень, на основі якої проведено дослідження стійкості струмової конфігурації плазми змінного профілю щільності, а також методику дослідження власних значень спрощеного рівняння магнітодинамічної балонної нестійкості плазми як функції керуючих параметрів у коефіцієнтах моделюючої сингулярної задачі.

За допомогою методу нелінійних варіаційних параметрів знайдено наближені аналітичні розв'язки одновимірної задачі з вільними границями.

For traditional difference schemes concerning initial-boundary problems for parabolic-type equations, "weight" a priori error estimates are found. These estimates show that the accuracy of difference schemes in a close proximity to the boundary of a time rectangle is higher than that in the middle of it. Sufficient conditions of smoothness of the right-hand-side coefficients of a parabolic equation and initial conditions are found, which ensures the validity of the aforesaid a priori estimates.

A new initial boundary-value problem for the pseudo-parabolic equation with conjugation conditions is considered. Uniqueness and existence, of its generalized solution are proved. Highly accurate computation search schemes for an approximate generalized solution are constructed.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.212

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь параболічного типу

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.212

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь параболічного типу

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.212

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь параболічного типу

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Рассмотрено численное решение прямых и экстремальных задач для параболического волнового уравнения типа Шредингера в неоднородных волноводах. Предложен численный метод их решения и исследована устойчивость разностной схемы с комплексным несамосопряженным оператором.

Ключ. слова: вариационное неравенство, метод штрафа, метод фиктивных областей, разностная схема, усредняющий оператор
Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.213

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж29144 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.2

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь з частинними похідними

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Наведено результати наукових досліджень підвищення ефективності розв'язування крайових задач для нестаціонарних диференціальних рівнянь у частинних похідних параболічного типу за рахунок використання адаптивних сіток. Викладено методику похибки та побудови змінної за часом нерівномірної сітки. Висвітлено адаптивні методи розв'язання одно-, дво- та тривимірних нестаціонарних рівнянь дифузії, а також рівнянь переносу та дифузії забруднювачів в атмосфері. Розглянуто питання застосування адаптивних методів для моделювання теплових труб.

Приведены результаты научных исследований повышения эффективности решения краевых задач для нестационарных дифференциальных уравнений в частичных производных параболического типа за счёт использования адаптивных сеток. Изложена методика погрешности и построения пересменной по времени неравномерной сетки. Освещены адаптивные методы решения одно-, двух- и трехмерных нестационарных уравнений диффузии, а также уравнений переноса и диффузии загрязнителей в атмосфере. Рассмотрены вопросы применения адаптивных методов для моделирования тепловых труб.

Запропоновано ітераційну схему розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь в часткових похідних типу теплопровідності. Доведено збіжність побудованої ітераційної схеми.

Запропоновано загальну схему економічних двокрокових числових алгоритмів моделювання періодичних процесів, що описуються системами гіперболічних рівнянь. Обгрунтовано стійкість цих алгоритмів. Наведено приклад алгоритму для моделювання хвильових процесів.