В последние два десятилетия построена общая теория эллиптических краевых задач в областях, границы которых содержат особенности — углы, конические точки, ребра и т. п. Эта теория имеет широкие и важные приложения в механике сплошных сред, численных и асимптотических методах. Однако нет ни одной монографии с описанием основных результатов и методов. Цель книги — дать подробное изложение главных разделов теории, обеспечивающих потребности важных приложений, и продемонстрировать некоторые приложения.

Книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах авторы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из этих идей и методов (такие, как применение дельта-функции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т. д.) еще недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь данная книга может служить дополнением к этим учебникам. целью авторов было пояснить основные идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого в некоторых местах авторы старались входить более подробно в физическую картину рассматриваемых процессов. В задачах физики, техники и практических вычислений используются численные и графические методы, ряды. В книге содержатся полезные приемы таких вычислений. В наглядной форме даются основные сведения о комплексном переменном, линейных дифференциальных уравнениях, векторах и векторных полях и вариационном исчислении. Формальные доказательства в большинстве случаев заменены наводящими соображениями; за счет этого достигнуто упрощение и облегчено применение математических понятий. Подробно анализируются некоторые физические задачи, в частности относящиеся к оптике, механике, теории вероятностей.

Ч. 1 : Планиометрия. - 1948. - 609 с.

Книга посвящена калибровочной теории сильных взаимодействий (хромодинамике) и ее применению к расчету процессов при высокой энергии. Дано сравнительно простое изложение метода функционального интегрирования в квантовой теории и формулировка теории возмущений для калибровочных полей. Обсуждается перенормировочная инвариантность теории и основное для хромодинамики явление асимптотической свободы. Рассмотрены основные результаты по расчету жестких процессов при высокой энергии и связь хромодинамики с моделью квазисвободных кварков.

Изложены основные вопросы теории усреднения и G-сходимости эллиптических и параболических операторов любого порядка, а также нелинейных эллиптических операторов вариационного типа. Приводятся с доказательствами некоторые необходимые сведения из теории краевых задач, гармонического анализа, эргодической теории. Изложены некоторые приложения теории усреднения к изучению асимптотики решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка (стабилизации), асимптотики фундаментального решения и др. Для математиков - специалистов в области математической физики и уравнений с частными производными, в области прикладной математики, а также для механиков и физиков.

Основное место в книге занимают уравнения Винера-Хопфа. Наиболее полная теория дискретных и интегральных уравнений Винера-Хопфа была построена ранее М.Г. Крейном. Методы функционального анализа позволяют получить эти результаты, в также результаты о других конкретных классах уравнений в свертках в одной общей схеме. В основу этой схемы положено своеобразное неклассическое операционное исчисление, объектами которого служат функции от односторонне обратимых операторов. Вторую тему книги составляют проекционные методы решения уравнений в свертках. Методы функционального анализа позволяют и здесь построить общую схему. Абстрактной основой этой схемы опять служит упомянутое неклассическое операционное исчисление. Среди рассмотренных проекционных методов особое внимание уделяется методу Галеркина и методу редукции. В заключительной главе книги результаты, полученные для скалярного случая, обобщаются на системы уравнений. Для удобства изложение начинается с теорем о факторизации матриц-функций. В дополнение к книге изучена асимптотика решений уравнений в свертках.

Излагаются последствия изыскания широкого круга задач о сосредоточения напряжений в окрестности плоских трещин, накладок, или подключений в тугих телах. Рассматриваются трехмерные, а еще осесимметричные и плоские задачки о балансе и о установившихся шатаниях тел с трещинами, вопросы обоюдного воздействия трещин, воздействия подготовительной окончательной деструкции на распределение напряжений в окрестности концентраторов в тугом теле. Представлены задачки о расклинивании тугих тел. Используются и развиваются разные аналитические способы, которые дали возможность в неких вариантах обрести решение повторяющий вид несложных по текстуре формул, в иных—выполнить комфортную численную реализацию на ЭВМ. Для экспертов в сфере механики разрушения, механики непрерывной среды и математической физики.

Книга посвящена важному комбинаторному и теоретико-числовому объекту — разбиению натуральных чисел. В ней с исчерпывающей полнотой представлены многие направления исследований, связанные с этим объектом.

В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре— Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе. Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальными уравнениями.

Теория абстрактных вольтерровых операторов возникла недавно в связи с идеями и результатами общей теории несамосопряженных операторов. Основу теории вольтерровых операторов составляет теория абстрактного треугольного интеграла, которая детально излагается в двух концентрах. Представление оператора треугольным интегралом есть континуальный аналог приведения матрицы унитарным преобразованием к треугольному виду. Достаточно подробно изучается также задача факторизации оператора вдоль цепочки ортопроекторов — континуальный аналог задачи разложения квадратной матрицы в произведение левой и правой треугольных матриц. Эти абстрактные «несамосопряженные» построения находят неожиданные применения при исследовании спектра самосопряженных операторов, в частности спектра краевых задач для канонических систем дифференциальных уравнений: устанавливаются новые оценки для собственных чисел, общие асимптотические формулы, новые оценки зон устойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами. Все эти результаты получаются как следствия общих положений о зависимостях, существующих между спектрами эрмитовых компонент вольтеррова оператора. В связи с общей идеей факторизации излагается новый метод решения интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода, уже нашедший применения в некоторых задачах математической физики.

С единых методических позиций, основанных на символьном описании современных систем автоматического управления, распространяющемся на объекты управления, описываемые как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных, излагаются аналитические методы анализа и синтеза современной теории автоматического управления, ориентированные на реализацию совмещенного синтеза или управления объектом в режиме реального времени с учетом изменения внешней среды и самого объекта управления. Реализация совмещенного синтеза становится возможной, благодаря доведению алгоритмов анализа и синтеза до формы смешанных алгебраических и дифференциальных тождеств, минуя итерационные и поисковые процедуры (или алгоритмов в замкнутой форме, в аналитическом виде). Учебник снабжен достаточным количеством примеров и заданий и упражнений для самостоятельной работы. Каждая глава учебника заканчивается краткой сводкой изложенных в ней результатов, облегчающей усвоение материала учебника. Излагаемые методы анализа и синтеза современной теории автоматического управления программно реализованы посредством отечественной системы компьютерной алгебры «АНАЛИТИК-С», находящейся под юрисдикцией стандартной публичной лицензии GNU, размещенной по адресу http://www.tki-analitik.ru и описанной в приложении к учебнику. Учебник рассчитан на широкий круг студентов, магистрантов и аспирантов, инженеров и научных работников, специализирующихся в области теории и практики автоматического управления. РАЗДЕЛ 1. Анализ систем автоматического управления. Глава 1. Аналитические методы решения задачи Коши. Глава 2. Задачи и цели управления. Глава 3. Анализ управляемости (проблема существования по Адамару). Глава 4. Анализ структурной устойчивости математической модели (устойчивость к малым изменениям исходных данных по Адамару). Глава 5. Анализ устойчивости. Глава 6. Анализ грубости свойства асимптотической устойчивости. РАЗДЕЛ 2. Синтез систем автоматического управления. Глава 7. Задача стабилизации: синтез законов управления регулярной структуры. Глава 8. Задача восстановления вектора состояний (задача наблюдения). Глава 9. Задача стабилизации: синтез законов управления сингулярной структуры. Глава 10. Задача финитного управления без ограничений. Глава 11. Финитное управление с учетом ограничений на управления. Глава 12. Адаптивное управление. РАЗДЕЛ 3. Приложения. Приложение 1. Правила преобразования структурных схем. Приложение 2. Основы работы с системой аналитических вычислений «АНАЛИТИК-С».

Первый из авторов монографии хорошо известен советским читателям по переводам других его книг на русский язык (см., например, Д. Кокс, У. Смит, Теория очередей, „Мир", 1966; Д. Кокс, П. Льюис, Статистический анализ последовательностей событий, „Мир", 1969). В новой книге дана сводка основных понятий и наиболее важных результатов современной математической статистики. Подробно рассмотрены теория проверки гипотез, теория оценивания, специальные главы посвящены критериям значимости, асимптотическим методам, байесовским моделям и теории статистических решений. Книга содержит большой фактический материал, изложение неформальное. Чтобы охватить более широкий круг вопросов, авторы приводят многие результаты без доказательств. Для чтения достаточно знакомства с теорией вероятностей в объеме втуза. Книга полезна студентам старших курсов, аспирантам и специалистам, занимающимся математической статистикой, а также широкому кругу научных работников и инженеров, использующих ее методы.

Книга посвящена развитию метода усреднения Н. Н. Боголюбова на основе использования аппарата непрерывных групп преобразований. Доказываются новые теоремы об асимптотической декомпозиции систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматриваются новые классы задач. Основные алгоритмы носят конструктивный характер и сводятся к простейшим задачам линейной алгебры. Рассчитана на широкий круг инженерно-технических и научных работников, интересующихся современными методами исследования систем дифференциальных уравнений и их приложениями.

  Текст у форматі PDF 3.47 Мб

В книге с единой точки зрения изложены основные результаты работ последних лет по теории и применениям сфероидальных и родственных им кулоновских сфероидальных функций. Кулоновские сфероидальные функции как класс специальных функций последовательно определены и рассмотрены впервые. В книге представлены аналитические свойства сфероидальных и кулоновских сфероидальных функций, их асимптотические разложения и алгоритмы вычисления на ЭВМ. Рассмотрены приложения этих функций в квантовой механике, теории дифракции и оптике. Книга носит справочный характер. Она предназначена для физиков и специалистов по прикладной математике, радиотехнике и квантовой химии.

В книге систематически излагается геометрия показателей степеней, включающая многогранник Ньютона, нормальные конусы к его граням, степенные и логарифмические преобразования. На его основе разработаны универсальные алгоритмы локального и асимптотического анализа решений нелинейных систем уравнений (алгебраических и дифференциальных, как обыкновенных, так и с частными производными).

Монография посвящена построению спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с помощью операторов преобразования. Такой подход позволил единым способом и достаточно просто получить все основные результаты спектральной теории как в самосопряженном, так и в несамосопряженном случае. Особое внимание уделено новым разделам теории (обратным задачам, асимптотическим формулам для спектральных функций и др.), для которых аппарат операторов преобразования оказался наиболее сильным и естественным орудием исследования. В каждом параграфе приведены задачи, содержащие обобщения и уточнения излагаемого материала. Книга рассчитана на научных работников—математиков и физиков, аспирантов и студентов старших курсов математических и физических факультетов университетов.

Рассматриваются решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, зависящие от малого параметра. Асимптотическое разложение решений имеет, вообще говоря, различную структуру в различных областях (например, в области пограничного слоя, в окрестности разрыва предельного решения и т. п). Основное место занимает метод согласования асимптотических разложений решения (или метод сращиваемых асимптотических разложений). На различных примерах, ведущих свое происхождение от некоторых задач механики сплошной среды, проводится формальное построение полных асимптотических разложений решения и дается строгое обоснование правильности этих разложений. Для специалистов в области математики, прикладной математики и механики. Доступна студентам старших курсов университетов.

Излагаются современные методы анализа влияния случайных возмещений на поведение динамических объектов, описываемых дифференциальными уравнениями с ограниченным последействием. При исследовании стохастических квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений используются марковское свойство решений в укрупненном фазовом пространстве и метод функционалов Ляпунова-Красовского. Подробно излагаются корреляционные методы анализа устойчивости линейных систем. Для уравнений с последействием, близких к линейным стационарным, доказаны предельные теоремы типа принципа усреднения и теоремы об асимптотике нормированных уклонений от решения уравнения усредненного движения.

В книге известного французского специалиста в сжатой, компактной форме изложена современная асимптотическая теория и методы суммирования расходящихся рядов. Изложение вполне доступно для неспециалистов и снабжено различными примерами. Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов, специалистов по математическому анализу и динамическим системам.