Содержится популярное введение в разделы теории множеств, связанные с аксиомой выбора и аксиомой детерминированности. Рассматривается вопрос о том, какая из этих аксиом и в какой степени полезна в различных областях математики. Для лиц, интересующихся вопросами оснований математики, начиная со студентов-математиков первых курсов университетов и пединститутов. Созданная Георгом Кантором в конце прошлого века теория множеств дала универсальный фундамент для всего здания математики. Оказалось, что область исследования каждой математической дисциплины можно представить как вполне определённый набор множеств заданной структуры с заданным набором операций. Однако этот теоретико-множественный фундамент не выглядел надёжным, так как в развитии самой теории множеств вскоре обозначились серьёзные внутренние трудности.

В книге систематически излагаются такие фундаментальные понятия, как "множество", "кортеж", "соответствие", "функция", "отношение". Эти понятия, на базе которых и осуществляется, собственно говоря, все теоретико-множественное построение математики, с полным правом названы в книге "начальными понятиями математики". Наряду с ними в книге излагаются и элементы математического языка: разбираются понятия переменной, операции над высказываниями и т. д. книга Ю. А. Шихановича сможет быть полезной самым различным читателям - как нематематикам, заинтересованным в овладении языком начальных математических понятий (понятий столь универсальных, что на их базе могут описываться явления из различных областей науки и жизни), так и математикам, заинтересованным в уточнении собственного языка (хотя бы для того, чтобы нести свой уточненный язык нематематикам)

Понятие модели возникло в математике еще в девятнадцатом веке. Вплотную к нему подошел Н. И. Лобачевский, но в полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, посвященных непротиворечивости геометрии. В дальнейшем понятие модели развивается и уточняется в связи с развитием формальных теорий и становится одним из основных понятий семантики символических языков. Современная формулировка понятия модели и других понятий семантики (например, понятия истинности формулы узкого исчисления предикатов, понятия теории классов алгебраических систем и др.) сложилась в конце двадцатых и в начале тридцатых годов в работах Д. Гильберта и А. Тарского. К тому же времени на основе фундаментальных работ Д. Гильберта и развития его идей в математической логике были получены и основные теоремы: теорема Гёделя о полноте узкого исчисления предикатов, локальная теорема Мальцева, теорема Левенгейма — Сколема, теорема о расширении моделей и др.

Книга А. Гейтинга является монографией по основаниям математики. Вопросы оснований математики(теория математического доказательства, проблема существования в математике) рассматриваются в ней с точки зрения интуиционизма - течения в математике, видным представителем которого является автор.

В сборник избранных работ выдающихся немецких мыслителей - братьев Г. Грассмана (1809-1877) и Р. Грассмана (1815-1901), занимавшихся математикой, философией, логикой, филологией, включены тексты, раскрывающие разные стороны философских воззрений и методологии авторов. Тексты Грассманов подробно прокомментированы и снабжены обширным Послесловием. Для широкого круга читателей, интересующихся историей философии, логикой, философией математики, методологией науки

Данная книга обращена прежде всего к тем, кто изучает математику, - начиная от учащихся старших классов и студентов и кончая специалистами в различных областях, которым приходится встречаться с применением математических методов исследования. Читатель узнает, какими путями добываются новые факты в математике, с какой степенью доверия следует относиться к той или иной математической гипотезе - одним словом, перед ним раскрывается подлинный процесс математического творчества. Автор особенно подчеркивает общность путей открытия истин для всех естественных наук. Увлекательность изложения, обилие исторических иллюстраций, а также предпринятая автором попытка построения теории правдоподобных (индуктивных) умозаключений делают книгу интересной как для профессионала-математика, так и для студентов вузов.

Название этой книги — вовсе не каламбур, как это может показаться на первый взгляд. Метаматематика — это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория — это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью нескольких простых правил, служат заменой для предложении и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль — они являются аксиомами формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операции, соответствуют теоремам теории.

Доказательства тождеств; задачи арифметического характера; Тригонометрические и алгебраические задачи; Задачи на доказательство неравенств; Доказательство некоторых теорем элементарной алгебры методом математической индукции

Книга рассчитана на учащихся старший классов средней школы, а также на студентов младших курсов. Книга состоит из двух частей: индукция в арифметике и алгебре, где рассматриваются доказательства тождеств, тригонометрические и алгебраические задачи, задачи на доказательство неравенств, представлены доказательства некоторых теорем элементарной алгебры методом математической индукции, и индукция в геометрии, где повествуется о вычислениях по индукции, построениях по индукции, нахождении геометрических мест по индукции, определениях по индукции, об индукции по числу измерений.

Монография Д. Гильберта и П. Бернайса "Основания математики" занимает уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое немецкое издание, вышедшее в тридцатых годах, подвело итог процессу становления математической логики как самостоятельной математической дисциплины со своей проблематикой и своими методами. Эта книга оказала решающее влияние на дальнейшее развитие математической логики. Отличающаяся исключительной глубиной содержания и тщательностью изложения, монография Д. Гильберта и П. Бернайса пользуется большой популярностью среди специалистов.

Монография Д. Гильберта и П. Бернайса "Основания математики" занимает уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое немецкое издание, вышедшее в тридцатых годах, подвело итог процессу становления математической логики как самостоятельной математической дисциплины со своей проблематикой и своими методами. Эта книга оказала решающее влияние на дальнейшее развитие математической логики. Отличающаяся исключительной глубиной содержания и тщательностью изложения, монография Д. Гильберта и П. Бернайса пользуется большой популярностью среди специалистов.

Сборник содержит текст известного доклада Гильберта «Математические проблемы», произнесенного на II Международном Конгрессе математиков, проходившем в Париже с 6 по 12 августа 1900 г. Этот доклад охватывает проблемы математики в целом и оказывается уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. По своему характеру проблемы Гильберта очень разнородны. Они начинаются с теории множеств (континуум-проблема) и обоснования математики, переходят далее к основаниям геометрии, теории непрерывных групп, теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии и заканчиваются анализом. Какие из гильбертовских проблем решены, какие еще нет, - об этом читатель может узнать из комментариев к этим проблемам.

Книга представляет собой попытку объединить в одном издании карманный справочник и изложение основ современной математики. В ней освещены основные понятия теории множеств, алгебры, топологии и теории функций. Авторы опускают многие доказательства, однако им удается не только привести определения и формулировки теорем, но и дать представление о существе излагаемых вопросов. При этом весьма ценными оказываются многочисленные и разнообразные примеры. Книга будет полезна для очень широкого круга читателей, занимающихся или интересующихся математикой, начиная с учащихся физико-математических школ и кончая научными работниками различных специальностей.

Теорема Гёделя о неполноте — едва ли не самая знаменитая теорема математики. Она утверждает, что какие бы способы доказывания ни предложить, в любом достаточно богатом языке найдутся истинные, но не доказуемые утверждения. Богатство языка есть его способность выражать факты. Оказывается, что для целей теоремы Гёделя богатство языка достаточно понимать как его способность выражать принадлежность натуральных чисел перечислимым множествам. Понятие перечислимого множества — одно из основных понятий теории алгоритмов: непустое множество называется перечислимым, если его можно расположить в вычислимую последовательность. Таким образом, теорема Гёделя имеет алгоритмические истоки. Возможны четыре принципиально различные пути, ведущие от этих истоков к теореме; эти пути были предложены, соответственно, Гёделем, Колмогоровым, Чейтином и Шенем.

Топосы - это специального вида категории, способные служить моделями для теоретико-множественных конструкций. Они являются математическим средством унификации и обобщения математических задач и методов их решения. Их можно рассматривать как главный объект новой концепции оснований математики. Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов университетов.