Предлагаемая вниманию читателя книга принадлежит перу одного из крупных современных геометров, С. Лефшеца,- основные работы которого относятся к алгебраической геометрии и к топологии. Обе главнейшие специальности Лефшеца тесно переплетаются между собой: в алгебраической геометрии Лефшец является основателем нового, топологического направления; с другой стороны, предложенный им метод „умножения и пересечения" в значительной степени явился результатом перенесения в область топологии точек зрения и приемов, взятых из алгебраической геометрии. Этот метод является фундаментом гомологической теории непрерывных отображений многообразий, основателем которой является тоже Лефшец; сила этой теории продемонстрирована формулой, дающей алгебраическое число неподвижных точек любого непрерывного отображения. Лефшец впервые доказал эту формулу своим методом „умножения и пересечения" для непрерывных отображений многообразий; впоследствии Хопф дал другое элементарное доказательство для любых полиэдров, после чего Лефшец обобщил свою формулу на общий случай локально-стягиваемых компактов. Значительное отражение в книге Лефшеца нашли работы советских топологов; так, например, исследование компактов и более общих топологических пространств методами комбинаторной топологии, являющееся одним из основных достижений московской топологической школы, подверглось Лефшецем дальнейшей разработке и заняло существенное место в его книге „Алгебраическая топология", к краткой характеристике которой я сейчас и перехожу. Книга эта представляет собой построение комбинаторной топологии в самых общих предположениях. Она не является учебником топологии, ни, тем более, книгой для первого чтения по этой области математики: для этого предпосылки, выбранные автором для изложения различных теорий, чересчур общи, а принятый метод изложения чересчур абстрактен (все изложение, кстати, последовательно ведется „от общего к частному"). Но для читателя, уже знакомого с основами комбинаторной топологии по тому или иному из довольно многочисленных имеющихся в настоящее время изложений, в особенности же для сложившегося математика, желающего работать как собственно в комбинаторной топологии, так и в области больших общих проблем теоретико-множественной топологии, книга Лефшеца может быть очень полезна, так как в ней изложен весь ассортимент выработанных к настоящему моменту методов гомологической топологии, причем это изложение сделано с учетом различных возможностей обстановки, в которой эти методы придется применять.

Обширная монография одного из крупнейших американских математиков С. Лефшеца содержит систематическое изложение качественной теории дифференциальных уравнений. В ней рассматриваются вопросы устойчивости (в частности, устойчивости периодических решений), поведение систем в окрестности особой точки и т. п. Особое внимание уделено двумерному случаю. Изложение ведется на высоком математическом уровне, сочетающем широту охвата со строгостью изложения. Методы, развиваемые в книге, имеют важные практические применения в ряде отраслей физики и техники. Поэтому книга найдет широкий круг читателей - математиков (начинающих и специалистов) и научных работников различных специальностей.