Доказано несколько вариантов теоремы Красовского о существовании функции Ляпунова с положительной производной в силу уравнения в окрестности произвольного инвариантного множества для неавтономного уравнения. Показано, в частности, что для периодического уравнения существует периодическая функция Ляпунова, для почти-периодического уравнения — почти-периодическая функция Ляпунова, для однородного уравнения — однородная функция Ляпунова. Построена также глобальная функция Ляпунова для неавтономного уравнения, не имеющего цикла, несобственного седла и имеющего не более счетного множества инвариантных множеств. Функции Ляпунова использованы для построения изолирующих блоков инвариантных множеств. С применением функций Ляпунова изложено решение проблем различения в окрестности исключительного направления или исключительного конуса: проблемы единственности траектории, входящей в точку покоя вдоль исключительного направления, проблемы различения размерности множества траектории, входящих к точку покоя вдоль исключительного направления или исключительного конуса, и проблемы наличия траекторий, входящих в точку покоя вдоль исключительного направления или исключительного конуса.