Настоящая книга представляет собой расширенное изложение лекций, читанных автором в Ленинградском университете. Теория Фредгольма строится на основе аппроксимации (но без последующего предельного перехода) данного ядра вырожденным; такое построение, помимо его простоты, привлекательно еще тем, что оно очевидным образом связывает уравнения Фредгольма как с линейными алгебраическими системами, так и с более общими уравнениями, содержащими вполне непрерывные операторы. В пользу данного построения теории Фредгольма говорит и то, что оно принято появившихся за последние годы.

В книге дано изложение классической общей теории линейных интегральных уравнений и целого ряда ее приложений к дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению и некоторым задачам математической физики. В настоящем издании в книгу включено дополнение «О росте собственных значений однородных интегральных уравнений», написанное чл. корр. АН СССР А. О. Гельфондом. Книга представляет интерес для студентов, аспирантов и преподавателей математических дисциплин в вузах.

Теория абстрактных вольтерровых операторов возникла недавно в связи с идеями и результатами общей теории несамосопряженных операторов. Основу теории вольтерровых операторов составляет теория абстрактного треугольного интеграла, которая детально излагается в двух концентрах. Представление оператора треугольным интегралом есть континуальный аналог приведения матрицы унитарным преобразованием к треугольному виду. Достаточно подробно изучается также задача факторизации оператора вдоль цепочки ортопроекторов — континуальный аналог задачи разложения квадратной матрицы в произведение левой и правой треугольных матриц. Эти абстрактные «несамосопряженные» построения находят неожиданные применения при исследовании спектра самосопряженных операторов, в частности спектра краевых задач для канонических систем дифференциальных уравнений: устанавливаются новые оценки для собственных чисел, общие асимптотические формулы, новые оценки зон устойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами. Все эти результаты получаются как следствия общих положений о зависимостях, существующих между спектрами эрмитовых компонент вольтеррова оператора. В связи с общей идеей факторизации излагается новый метод решения интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода, уже нашедший применения в некоторых задачах математической физики.