Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же задачу можно решить как комбинаторными, так и дифференциальными методами. В таких случаях обсуждаются оба подхода. Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических простанств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии. Книга содержит множество задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями.

Современная топология развивается в основном в двух направлениях: топология гладких многообразий («гладкая топология») и топология полиэдров («кусочно линейная топология»). Однако, в то время как результаты, достигнутые в гладкой топологии, вполне удовлетворительно отражены в литературе, до появления книги КРурка и Б.Сандерсона никаких книг по кусочно линейной топологии (будь то учебники или монографии) не было. Книга заполняет этот пробел: она является одновременно превосходным учебником для начинающих (соединяющим строгость и четкость изложения с полной геометрической наглядностью) и монографией, доводящей изложение до наиболее глубоких результатов (доказательство гипотезы Пуанкаре и т. п.). Даже вполне квалифицированный математик найдет в этой книге много нового и неожиданного.

Книга является классическим руководством по теории когомологических операций. Содержит интересные примеры и нетривиальные геометрические приложения. В качестве добавления в книгу включена работа известного тополога Дж. Мая, содержащая единый общекатегорный подход к когомологическим операциям.

Введение в теорию гомологии и гомологическую теорию неподвижных точек. Хотя за время, прошедшее с момента «выхода в свет 1-го ее издания (1947 г.), в мировой литературе появилось много книг по этому вопросу, небольшая монография Понтрягина продолжает занимать особое место по ясности и прозрачности изложения, по четкости и краткости доказательств. Для математиков различных специальностей — научных работников, аспирантов и студентов.

Монография считается первой книгой, вводящей (в легкодоступной форме) в главный круг мыслей и прецедентов гомологической доктрины размерности не утрачивающей при всем при этом взаимосвязи с приятными геометрическими построениями. Книга имеет и еще изложение основ традиционной топологии полиэдров и компактов. Это событие, и еще нрав изложения — доскональный и простый — делают книжку полностью легкодоступной широкому кругу математиков, увлекающихся топологией, начиная со учащихся ВУЗов старших курсов институтов.