Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи. В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения).

Настоящая книга представляет собой монографию, посвященную суммированию расходящихся рядов. Она содержит обширный исторический обзор вопроса, краткое введение в общую теорию суммирования рядов и подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.). Кроме того, здесь рассматриваются — приложения теории к задаче перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов Фурье и к нахождению значений определенных интегралов. Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов — и требует для своего чтения знания теории функций действительного и комплексного переменного. В некоторые своих разделах она может быть также полезна для тех инженеров, которые встречаются с расходящимися рядами.

Книга посвящена одной из областей арифметики - теории простых чисел. Автор поставил себе целью изложить некоторые теоермы "неэлементарной" теории простых чисел и сообщить наряду с этим о различных интересных результатах в этой области. Для чтения книги достаточно знания школьной алгебры и простейших фактов дифференциального и интегрального исчисления.

Книга известного индийского математика, президента Международного математического союза К. Чандрасекхарана посвящена систематическому изложению классических результатов аналитической теории чисел. Она не требует больших предварительных знаний и вводит читателя в широкий круг основных теоретико-числовых вопросов. Книга написана с большим педагогическим мастерством, четко и сжато. Она будет полезна математикам различных специальностей, а также студентам университетов и пединститутов.

Современный университетский учебник повышенного типа по теории чисел. Сжатое, но весьма содержательное изложение ведется с позиции современной алгебры; развиваются теория конечных полей, теория p-адических чисел, локальная теория квадратичных форм, начальные сведения из теории L-рядов с теоремой Дирихле о прогрессии, элементы теории модулярных форм.

Книга посвящена вопросам аналитической теории чисел, связанных с теорией мультипликативных характеров. Особое место занимает доказательство очень сильных теорем плотностного характера.

В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников !Х и X классов — участников Московской математической олимпиады, а затем — в несколько изменённом виде — в Московском институте усовершенствования учителей. Тема «Возвратные последовательности» близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т. п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория), законченная, простая, ясная, как и всё то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию. Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром.

В данном пособии содержатся задачи, способствующие систематическому углублению изучаемого материала и развитию навыков решения сложных задач, а также подготовке к вступительным экзаменам в X класс школ, гимназий и лицеев с углубленным изучением математики.

Мы начинаем изучать Форт — интересный и мощный машинный язык. Если вы новичок, желающий поближе познакомиться с компьютером, то Форт поможет вам в этом деле. Он в большей степени приспособлен для написания программ, чем любой другой язык (см. «Введение для начинающих»). Если вы умудренный опытом профессионал, который хочет изучить Форт, вам тоже нужна именно наша книга. Форт настолько отличается от остальных языков, что всем, от новичка до специалиста, рекомендуется изучать его с самого начала. Поэтому, если вы знаете другие языки программирования, забудьте их и оставьте в памяти только то, что вам известно о компьютере (см. «Введение для профессионалов»). Поскольку книга предназначена для читателей с различными уровнями подготовки, она построена таким образом, чтобы можно было знакомиться лишь с тем материалом, который вам необходим. В тексте даются сноски, адресованные разным категориям читателей. Первая половина гл. 7 содержит основы машинной арифметики только для начинающих. В книге объясняется, как писать простые прикладные программы на Форте. В нее включены все служебные слова языка, требуемые для разработки высокоуровневой прикладной программы в однозадачном режиме, — от команд, реализующих простые математические операции, до команд управления трансляцией. Команды, относящиеся к средствам мультипрограммирования, утилитам вывода на печать и обмена с дисками, а также к объектному компилятору, здесь опущены. Эти команды доступны в некоторых версиях Форта, например в полифорте. Я подобрал такие примеры программ, которые будут работать в Форт-системе при вводе данных с терминала и диска. Однако не следует считать, что использование Форта ограничивается задачами манипулирования со строками, — сфера его применения гораздо шире. Как уже отмечалось, книга построена таким образом, чтобы максимально облегчить изучение языка. Все команды описываются дважды: первый раз — в том разделе, где они вводятся, и второй — в конце главы, где дается краткий обзор ее содержания. В приложении Б представлен указатель слов Форта в алфавитном порядке, а в приложении В они сгруппированы по областям применения. В конце каждой главы приводятся, кроме того, словарь терминов и упражнения, ответы на которые вы найдете в приложении А. В процессе изложения даются полезные рекомендации и предлагаются необязательные программы. Последние носят чисто иллюстративный характер и поэтому представлены здесь без каких-либо пояснений. Следует отметить, что Форт — необычный язык. Он «попирает» многие устоявшиеся правила программирования. Первоначально я воспринял Форт крайне скептически, но по мере создания сложных прикладных программ мне начали открываться его красота и мощь. Постарайтесь относиться к нему без предубеждения, если вам что-то покажется странным. Лишь немногие программисты, освоившие Форт, возвращались снова к другим языкам программирования. Желаю вам успехов в освоении Форта и его последующем применении.