Проведено дослідження особливостей поводження розв'язків систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, не розв'язаних щодо похідних. Для систем загального вигляду уточнено метод розв'язності або частинної розв'язності системи відносно похідних та удосконалено спосіб виділення з системи гілки, розв'язаної відносно похідних. Для задач Коші, лінеаризована частина яких містить змінний сингулярний жмуток матриць, одержано достатні умови існуваня аналітичних розв'язків в області з особливою точкою на межі та здійснено їх оцінку. Розглянуто питання про кількість таких розв'язків, зокрема, про вимір сім'ї розв'язків, що залежить від довільних аналітичних функцій з деяких класів. Розглянуто випадки існування різних співвідношень між розмірами у прямокутній матриці при похідній за її сталого рангу.

Досліджено розв'язки крайових задач з параметрами у нелінійних рівняннях за нелінійних умов. Обгрунтовано підхід, який базується на побудові еквівалентної крайової задачі з параметрами та лінійними крайовими умовами, що розглядається разом з певною системою визначальних рівнянь. За допомогою розробленої модифікації числово-аналітичного методу послідовних наближень одержано необхідні та достатні умови існування розв'язків розглядуваних задач. Запропоновано нову схему дослідження розв'язків багатоточкових крайових задач шляхом зведення їх до двоточкових з застосуванням відповідної параметризації. Питання існування та наближеної побудови розв'язків цих задач вивчено на основі числово-аналітичного методу послідовних наближень.

Вперше розроблено класифікацію систем з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що належать достатньо широкому класу на основі дослідження структури правого ідеалу, що породжується нелінійною системою та обмеженнями на керування в градуйованій алгебрі нелінійних степеневих моментів. Повністю вивчено випадок скінченновимірних градуювань та правих ідеалів, що породжуються однорідними Лі-елементами. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом та відповідний базис. Для широкого класу нескінченновимірних градуювань знайдено спосіб побудови правого ідеалу, що відповідає системі та досліджено структуру таких ідеалів. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом та відповідний базис. Запропоновано метод переходу до "апроксимуючого" скінченновимірного градуюванння, вигляд якого залежить від правого ідеалу, що відповідає системі. Розроблено класифікацію афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що призводять до скінченновимірних градуювань. Показано, що канонічна форма системи може бути знайдена за допомогою поліноміального перетворення ряду, наведено побудову такого перетворення. Побудовано класифікацію афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що призводять до широкого класу нескінченновимірних градуювань. Доведено, що привести систему до канонічної форми за допомогою поліноміальних перетворень неможливо.

Виявлено подібність, що об'єднує автономні нетерові крайові задачі та неавтономні періодичні крайові задачі в критичному випадку другого порядку. Для знаходження розв'язків періодичної задачі для рівняння Матьє та його власних функцій побудовано комбіновану ітераційну схему з використанням методу простих ітерацій, а також техніки найменших квадратів. На прикладі періодичних задач для рівнянь Матьє, Льєнара та Ван-дер-Поля розглянуто значне зменшення величини нев'язок побудованих розв'язків у порівнянні з традиційним методом простих ітерацій, а також технікою Бубнова - Гальоркіна.

Досліджено проблеми знаходження конструктивних умов існування та побудови розв'язання нелінійних нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь. Вдосконалено схему дослідження задач про існування та побудову розв'язання нетерових крайових задач для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь в критичних випадках. Встановлено необхідні та достатні умови існування та побудовано модифіковані ітераційні процедури для знаходження розв'язання нетерових слабконелінійних крайових задач.

Доведено необхідну та достатню умови розв'язаності виродженої лінійної неоднорідної нетерової крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР). Встановлено умови біфуркації розв'язків слабкозбуреної виродженої лінійної крайової задачі для СЗДР за припущення, що породжувальна задача не має розв'язків за довільних неоднорідностей. Одержано необхідну та достатню умови існування розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку та досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами. Запропоновано ітераційний алгоритм побудови розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР.

Установлено асимптотичні зображення для одного класу розв'язків двовимірних систем звичайних диференціальних рівнянь більш загального типу, ніж системи типу Емдена - Фаулера.

Знайдено необхідні та достатні умови існування розв'язків слабконелінійної нетерової крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку.

Исследованы системы нелинейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием. Рассмотрена нелинейность квадратичного вида. Системы записываются в специальном унифицированном векторно-матричном виде. Исследована устойчивость стационарного положения равновесия, находящегося в первой координатной четверти. Аппаратом исследования выбран второй метод Ляпунова вида квадратичных функций с условием Разумихина.

Досліджено нелінійну двоточкову крайову задачу для систем звичайних диференціальних рівнянь у разі розбиття інтервалу та введення додаткових параметрів. Побудовано систему рівнянь відносно параметрів, що надають можливість знайти початкове наближення розв'язку крайової задачі. Встановлено необхідні та достатні умови існування ізольованого розв'язку розглянутої задачі.

Розроблено й обгрунтовано схеми усереднення для систем диференціально-функціональних рівнянь із повільними та швидкими змінними, які у процесі еволюції проходять через резонанс. Розвинуто для нових класів багаточастотних систем диференціально-функціональні рівняння результатів А. М. Самойленка, Р. І. Петришина та Я. Й. Бігуна для звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь із запізненням аргументу. Доведено нові теореми про існування та єдиність розв'язку багаточастотних систем диференціальних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом та інтегральними крайовими умовами, функції в яких залежать тільки від повільного часу, обгрунтовано метод усереднення для таких крайових задач. Встановлено нові оцінки похибки методу усереднення, які явно залежать від малого параметра, для нетерової крайової задачі для багаточастотної системи диференціальних рівнянь із вектором лінійно перетворених аргументів. Знайдено умови застосування методу усереднення в багаточастотних системах зі сталим запізненням і крайовими умовами. Побудовано оцінки похибки методу усереднення для багаточастотних систем рівнянь з інтегральними крайовими умовами, коли функції в інтегральних умовах залежать як від повільного часу та повільних змінних, так і від швидких змінних. Одержано явно залежну від малого параметра оцінку методу усереднення для багаточастотної системи рівнянь з вектором лінійно перетворених аргументів та інтегральними крайовими умовами. Наведені схеми усереднення проілюстровані на модельних прикладах.