Розроблено механічні інженерні моделі польоту краплі рідини у газовому середовищі з урахуванням випаровування краплі, яка вважається матеріальною точкою змінної маси. Особливу увагу приділено побудові наближених аналітичних розв'язків лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь руху зі змінними коефіцієнтами. Точність наближених формул перевірено зіставленням одержаних результатів з даними числового інтегрування неспрощених рівнянь руху на комп'ютері. Наведено опис ефектів відбиття та розгону крапель потоком газу.

Разработаны механические инженерные модели полета капли жидкости в газовой среде с учетом испарения капли, которая является материальной точкой переменной массы. Особое внимание уделено построению приближенных аналитических решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений движения с переменными коэффициентами. Точность приближенных формул проверена методом сопоставления полученных результатов с данными числового интегрирования неупрощенных уравнений движения на компьютере. Приведено описание эффектов отражения и разгона капель потоком газа.

Сформульовано замкнену систему основних співвідношень динаміки вільного руху матеріальної системи зі змінними масово-інерційними характеристиками. Досліджуване тіло - система, яка складається з несучого тіла, що містить рухомі тіла - вантажі та здійснює поступально-обертальні рухи в просторі. Одержані диференціальні рівняння руху залежать від ряду параметрів як функцій часу, враховують зміну маси системи, її інерційні характеристики та інше. Вказано, що з загальних співвідношень можна одержати частинні випадки рівнянь динаміки для дослідження різних режимів руху та явищ стійкості.

Досліджено просторові та плоскі задачі про малі рухи та нормальні коливання маятника з порожниною, яка частково заповнена однією або декількома капілярними в'язкими рідинами, що не змішуються. Розглянуто лінійну початково-крайову задачу про малі рухи маятника з порожниною, яка частково заповнена капілярною в'язкою рідиною. Від цієї задачі вдається перейти до задачі Коші для абстрактного параболічного рівняння в гільбертовому просторі. Доведено існування й єдність сильного розв'язку досліджуваної проблеми. Вивчено спектральну задачу досліджуваної гідросистеми за умови статичної стійкості за лінійним наближенням. Доведено, що спектр задачі дискретний, розташований у відкритій правій півплощині, локалізований в околу дійсної півосі та має граничну точку на нескінченності. Доведено, що система кореневих елементів створює базис за Абелем - Лідським у деякому гільбертовому просторі, а також у відповідному просторі з нормою графіка основного оператора, або базис за Абелем - Лідським у цих просторах з точністю до скінченного дефекту. Наведено асимптотику власних значень. Доведено обернення теореми Лагранжа про стійкість.

Розроблено математичну модель і метод аналітичного розв'язання нелінійного диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами у функціях Бесселя, яке описує вертикальний рух сферичного тіла змінного розміру та маси, за квадратичної залежності аеродинамічної сили від швидкості польоту. Виявлено немонотонність швидкості польоту та визначено умови наявності ексремуму швидкості вертикального руху сферичного тіла, радіус якого зменшується за лінійним і нелінійним законами. Одержано компактні формули для двосторонніх оцінок швидкості та радіус-вектора центру мас на траєкторії польоту кулі змінної маси. Створено методику аналітичного розрахунку вертикального руху сферичного тіла, у якого зростають розміри та маса.

Розв'язано задачу про падіння однорідної кулі зростаючого радіуса з вертикальною віссю обертання без урахування опору зовнішнього середовища. За експонентного закону зростання радіуса кулі в часі перші та другі інтеграли рівнянь руху подано через відомі функції та досліджено особливості руху у разі дії сили Магнуса. Для знаходження кутової швидкості обертання кулі використано закон збереження кінетичного моменту. Розглянуто також випадок руху кулі зі сталою кутовою швидкістю.

За допомогою аналітичних розв'язків задачі Коші описано ефект реверсування вертикального руху сферичної частинки змінного радіуса та маси у повітряному потоці газу. Показано, що внаслідок зменшення маси частинка, яка падає, зупиняється за дії зустрічного потоку, а потім рухається вгору. В результаті зростання маси захоплена висхідним потоком легка частинка зупиняється, а потім падає донизу.

Із закону збереження енергії для замкнутої механічної системи одержано узагальнену форму закону збереження імпульсу, що відображає одночасну зміну швидкостей і прискорень поступального й обертального рухів під час взаємодії та силового навантаження тіл скінченних розмірів, а також відповідає умові балансу потужностей сил і моментів. Показано, що закони збереження поступального і обертального рухів у традиційній постановці Ньютона - Ейлера є частинним випадком сформульованої узагальненої форми. Одержані результати теоретично обгрунтовують принцип реактивного руху без відкидання маси під час створення "безопорних" двигунів.

Розв'язано задачу падіння однорідної кулі, радіус якої зменшується у часі за дробово-лінійним законом. Перші інтеграли рівнянь руху знайдено в елементарних функціях, другі інтеграли зведено до узагальнених інтегралів Френеля, які виражаються через гіпергеометричні функції. Досліджено особливості руху кулі під дією сили Магнуса.

Знайдено розв'язок системи нелінійних диференціальних рівнянь квазівертикального руху кулі, радіус якої зменшується за дробово-лінійним законом. Перші інтеграли виражено за допомогою функцій Бесселя, а для обчислення других запропоновано наближені асимптотичні формули.

У функціях Бесселя побудовано замкнутий наближений аналітичний розв'язок нелінійного диференціального рівняння вертикального підйому сферичного тіла змінної маси за дробово-лінійного зменшення його радіуса у часі та квадратичного опору повітряного середовища.

Розглянуто оберенену спектральну задачу щодо відновлення напівнескінченної системи мас і пружин у двох конфігураціях, одержаних зміною першої маси. Одержано результати про відновлення системи за спектрами двох конфігурацій. Надано необхідні та достатні умови, яким мають задовольняти дві дійсні послідовності, щоб бути спектрами двох конфігурацій механічної системи.

Поставлена цель построения математической модели движения шара переменного радиуса и массы. С помощью метода исследования выбран аналитический способ решения задачи Коши для нелинейного уравнения движения с переменными коэффициентами. Впервые в цилиндрических функциях построено замкнутое аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения вертикального падения сферического тела переменной массы при дробно-линейном убывании его радиуса во времени и квадратичном сопротивлении воздушной среды. Исследована асимптотика поведения решения.

На основании вариационного метода Луковского - Майлса выведены общие нелинейные модальные уравнения движения капли в невесомости. С использованием этих уравнений и нелинейной алгебры преобразований полиномов Лежандра построена асимптотическая нелинейная модальная теория третьего порядка для осесимметричных колебаний капли, в которой величины гидродинамических коэффициентов вычисляются аналитически через так называемые коэффициенты Клебша - Гордана, возникающие в квантовой механике. Рассмотрены нелинейные свободные колебания капли с частотой, близкой к основной собственной частоте. Проведено сравнение результатов с экспериментальными и численными данными.

Розглянуто 2 узагальнення класичної задачі Фарадея про розвиток параметричного резонансу в механічній системі резервуар - рідина з вільною поверхнею: вплив додаткового ступеня вільності - можливості горизонтального руху резервуару за рахунок поперечних коливань вільної поверхні рідини; вплив додаткового ступеня вільності - можливості кутових коливань резервуару, що висить на маятниковому підвісі, за рахунок коливань вільної поверхні рідини. Дослідження виконано на базі ефективної нелінійної багатомодової моделі, яка враховує сумісний рух резервуару та вільної поверхні рідини. Показано, що на відміну від класичної задачі Фарадея, динамічні процеси в системі розвиваються як сукупність механізмів параметричних і вимушених коливань. Для розглянутих узагальнень задачі Фарадея є можливим вихід коливань вільної поверхні рідини у нелінійний діапазон амплітуд за будь-якої частоти зовнішнього вертикального збурення.

Изучено быстрое вращательное движение относительно центра масс динамически несимметричного спутника в гравитационном поле. Движение происходит по эллиптической орбите. Проведено численное исследование годографа вектора кинетического момента в трехмерном пространстве.

Удосконаленим методом енергетичного балансу виведено наближені формули для розрахунку амплітуд малих затухаючих коливань системи лінійно-змінної маси з одним ступенем вільності при спільній дії реактивної сили та сил в'язкого і сухого тертя. Розглянуто варіанти нестаціонарних коливань, коли сила тертя Кулона має сталу величину або змінюється у часі по тому ж закону, що і маса. Проведено порівняння результатів обчислень за допомогою побудованих наближених формул з одержаними раніше іншими методами. Показано, що виведені компактні формули мають високу точність і цілком придатні для інженерних розрахунків.

Увагу приділено розширенню області застосування аналітико-числових підходів і асимптотичних методів, що є одним з найважливіших завдань інженерної практики і сучасної асимптотичної теорії. Зростання кількості членів наближення у застосованих асимптотичних підходах приводить до аналітичних і розрахункових складнощів. Продемонстровано, як на базі гібридних асимптотичних (у низьких наближеннях) і числових методах, із застосуванням комп'ютерної алгебри, можливо одержати розв'язки достатньо високої точності актуальних задач стійкості і динаміки конструкцій, математичними моделями яких є сингулярні диференціальні рівняння та їх системи із змінними коефіцієнтами, з візуалізацією досліджуваних процесів. Запропоновано розв'язки, які можуть бути застосовані споживачами хмарних технологій (cloud computing) для побудови гібридних систем аналізу. Запропоновано нове обгрунтовання наближених аналітичних розв'язків із застосуванням систем комп'ютерної алгебри, які є істотними для розвитку досліджень в галузі механіки деформівного твердого тіла, зокрема стійкості та динамічної поведінки конструкцій із змінними за координатами і часом параметрами та зовнішнього навантаження. Особливу увагу приділено наближеним аналітичним розв'язкам на базі асимптотичних підходів, зокрема задач динаміки конструкцій аерокосмічних систем.