Створено та програмно реалізовано автоматизовану систему діалогового моделювання прямих і обернених задач для систем, що описуються еліптичними та параболічними диференціальними рівняннями у тривимірному просторі. За допомогою розробленої системи розв'язано модельні приклади та практичні задачі. Загальну методику математичного моделювання прямих і обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами поширено на задачі моделювання процесів, що зводяться до розв'язання прямих і обернених задач для еліптичних систем. Побудовано множини функцій, якими з середньоквадратичною точністю описуються розв'язки прямих і обернених задач щодо досліджуваних процесів. Установлено критерії точності й однозначності цих розв'язків.

  Скачати повний текст

В дисертації побудовані і досліджені ітераційні алгоритми для лінійних рівнянь в скінченновимірному і банаховому просторах, названі багатократними агрегативно-ітеративними алгоритмами. Запропоновані агрегативно-ітеративні аналоги деяких числових методів, зокрема методу послідовної верхньої релаксації, методу найшвидшого спуску, чебишовського ітераційного методу, методу простих ітерацій. Отримані умови збіжності і оцінки похибок досліджених методів.

  Скачати повний текст

Обгрунтовано шляхи розв'язання науково-прикладної проблеми підвищення ефективності моделювання об'єктів з розподіленими параметрами за рахунок оптимального вибору вузлів різницевої сітки. Запропоновано новий підхід щодо автоматизованої побудови змінних нерівномірних різницевих сіток, адаптованих до динаміки зміни досліджуваної функції, який базується на використанні вкладених сіток і дозволяє істотно скоротити розмірність систем різницевих рівнянь та час моделювання. Обгрунтовано спосіб оцінки похибки розв'язку, який одночасно з похибкою визначає її чутливість до зміни конфігурації різницевої сітки, що скорочує обчислення на встановлення характеру її трансформації. Розроблено метод визначення параметрів трансформації сітки на підставі використання даних про чутливість похибки до величин кроків, що дозволяє уникнути розв'язання допоміжних диференційних рівнянь і скоротити витрати машинного часу на побудову нової сітки. Запропоновано методику побудови змінної нерівномірної сітки на базі функцій її трансформації, яка виключає використання допоміжних вагових функцій, що формуються вручну. Показано практичне значення одержаних результатів наукового дослідження, які дозволяють істотно скоротити час моделювання об'єктів з одночасним збереженням точності.

  Скачати повний текст

Розроблено нові схеми методу скінченних елементів (МСЕ) для розв'язання сингулярно збурених задач конвекції-дифузії. Для одновимірної крайової задачі конвекції-дифузії побудовано схему з кусково-показниковими базисними функціями, визначено достатню умову її стійкості, зроблено апріорне оцінювання швидкості збіжності й оптимальний вибір основи показникових функцій. Розроблено експоненціальну однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу. Запропоновано спосіб зведення варіаційної задачі конвекції-дифузії до еквівалентної задачі мінімізації квадратичного функціонала шляхом вибору простору тестових функцій методу Петрова - Гальоркіна. Розроблено простий для програмної реалізації алгоритм генерування близьких до рівномірних тріангуляцій двовимірних областей. Запропоновано способи побудови апостеріорних оцінювачів похибки МСЕ на підставі розв'язання одно- та двовимірних локальних задач на похибку. На підставі запропонованих оцінювачів реалізовано h-адаптивну схему МСЕ з використанням стійких експоненціальних апроксимацій. Розроблено програмне забезпечення нових методів й експериментально підтверджено їх ефективність.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Запропоновано ефективні алгоритми розв'язування систем лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР) з lambda - матрицями в моделі Леонтьєва. Розроблено схему зведення СЛАР динамічного варіанта моделі Леонтьєва з lambda - матрицями від багатьох змінних до систем з числовими коефіцієнтами спеціального вигляду. Проведено зворотний аналіз похибок заокруглення й аналіз обчислювальної стійкості запропонованих алгоритмів. Розроблено новий підхід до розв'язування кліткових алгоритмів для СЛАР з блочними елементами в моделях Леонтьєва та систем лінійних алгебричних рівнянь з m -вимірними lambda-матрицями в моделі Леонтьева. Засобами програмного забезпечення MatLab створено набір інструментальних алгоритмів для комп'ютерної реалізації динамічних міжгалузевих моделей. Проведено обчислювальні експерименти, які підтверджують ефективність запропонованих обчислювальних схем.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Одержано аналітичні розв'язки одного класу нелінійних іyтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають у задачах з вільною фазою за різних застосувань. Розроблено методику знаходження всіх розв'язків таких рівнянь та дослідження процесу їх галуження. Установлено існування точок появи та зникнення розв'язків і досліджено природу їх трансформації. Числово встановлено, що оптимальні розв'язки одержуються завдяки поліномам з найвищим степенем.

  Скачати повний текст

Розглянуто деякі аспекти, пов'язані з інформаційним підходом М.П. Корнєйчука до задач апроксимаційного змісту, які можна інтерпретувати як задачі наближеного відновлення деякого математичного об'єкта за неповною дискретною інформацією. У ході дослідження цих задач зручним апаратом виявилися сплайни і поліноми, гарні апроксимаційні властивості яких виявляються в успішному поєднанні використання дискретної й апріорної інформації. Встановлено властивості апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, зображених у вигляді сплайнів і поліномів, з урахуванням вектора інформації, заданого скінченним набором лінійних неперервних функціоналів, за наявності умов гладкості на його праву частину і ядро в функціональних просторах зі стандартними нормами (метриками).

  Скачати повний текст

Теоретично обгрунтовано дискретний метод найменших квадратів (ДМНК) та створено його загальний алгоритм для апроксимації плоских дискретно представлених кривих (ДПК) з дотриманням вимог дискретного геометричного моделювання. Одержано дискретні представлення функцій, що не залежать від їх неперервних аналогів. Запропоновано розв'язання задачі кускової та кусково-гладкої локальної та глобальної апроксимацій. Рекомендовано застосування квадратичного програмування для моделювання неосцилювальних плоских ДПК на базі ДМНК. Одержано екстремальний розв'язок задачі ДМНК, який враховує диференціальні характеристики вихідних даних і не орієнтований на визначений клас функцій.

  Скачати повний текст

Одержано нові результати про типовість існування розв'язків, залежних від параметра неопуклих екстремальних задач. Для задач векторної оптимізації в метричних просторах одержано новий варіант варіаційного принципу Девілля-Годфруа-Зплера. Визначено нові теореми існування розв'язків задач максимізації опуклих функціоналів на опуклих обмежених підміюжинах нескінченновимірних банахових просторів. Розроблено теорію узагальненої розв'язності опуклих задач мінімізації. Проведено дослідження даних числових методів розв'язання неопуклих задач узагальненої оптимізації лінійних розподілених систем. Розвинуто теорію числового й аналітичного аналізу задач оптимізації лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням і векторним критерієм якості. Проведено дослідження існування узагальнених розв'язків і керованості параболічних, псевдопараболічних і параболічно-гіперболічних моделей за умов спряження.

  Скачати повний текст

Розроблено методичну систему вивчення наближених обчислень у курсі математики основної школи. Проведено ретроспективний аналіз і досліджено сучасний стан методики вивчення наближених обчислень у школах України. Проаналізовано програми з математики різних років, підручники та навчальні посібники. Виділено психолого-педагогічні передумови, цілі та зміст вивчення наближених обчислень в основній школі. Обгрунтовано необхідність організації навчально-дослідницької діяльності учнів у процесі вивчення наближених обчислень. Основним методом наближених обчислень обрано метод меж. Навчальний матеріал у підручнику рекомендовано компонувати з урахуванням принципів концентризму, фузіонізму, навчання в активному та фоновому режимах. Розоблено структурну модель вивчення наближених обчислень в основній школі, описано її етапи, для кожного з яких виділено провідну ідею, цілі, зміст і вимоги до рівня математичної підготовки учнів. Наведено методичні рекомендації щодо організації вивчення наближених обчислень, систему задач, лабораторні та практичні роботи, а також конкретні методичні розробки. Експериментально доведено дієвість та ефективність запропонованої методики, зокрема, показано її позитивний вплив на якість та успішність навчання, формування уміння розв'язувати прикладні задачі та розвиток пізнавальних інтересів.

  Скачати повний текст

Побудовано та досліджено нові математичні моделі (для одно- та двовимірного випадків) стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в анізотропних областях складної конфігурації, які містять довільно орієнтовані в просторі тонкі включення/тріщини. Запропоновано нові класичні еквівалентні узагальнені задачі, які визначені на класах розривних функцій, в основних ортогональних системах координат (декартовій, циліндричній, полярній), доведено теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків отриманих задач. Розроблено високоточні обчислювальні алгоритми методу скінчених елементів (МСЕ) для числового розв'язування змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту та створено на їх основі ефективну діалогову систему автоматизованого розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах. Одержано оцінки похибок наближених розв'язків. Побудовано нову варіаційну задачу з єдиним узагальненим розв'язком про формування температурного поля у вузлі тертя. На основі об'єктно-орієнтованого програмування та розроблених високоточних обчилювальних алгоритмів МСЕ створено та програмно реалізовано автоматизовану систему DIFUS діалогового моделювання задач з умовами спряження. За допомогою системи DIFUS розв'язано модельні приклади та практичні задачі.

  Скачати повний текст

Розглянуто швидкість збіжності апроксимацій за схемами Ейлера та Мільштейна для напівлінійних рівнянь еволюційного типу з необмеженим оператором та рівнянь Іто - Вольтерра у гільбертовому просторі. Одержано результати про збіжність скінченновимірних апроксимацій розв'язків стохастичного диференціального рівняння (СДР) у гільбертовому просторі. Визначено швидкість збіжності апроксимацій розв'язків СДР з необмеженим зсувом розв'язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами. Доведено існування приблизних розв'язків СДР з упередженням. Побудовано апроксимації квазілінійних СДР з упередженням, визначено швидкість їх збіжності, а також отримано нові апроксимаційні формули для напівгруп.

  Скачати повний текст

Дисертація присвячена питанням побудови геометричних моделей за допомогою спеціальної системи ортонормованих поліномів. Пропонується новий спосіб побудови апроксимуючих кривих ліній і поверхонь на основі геометричної моделі у вигляді ряду Фур'є за особливим ортонормованим базисом, який дозволяє апроксимувати криві лінії і поверхні з особливостями при дотриманні різноманітних критеріїв наближення. На базі запропонованого способу розроблений новий підхід до моделювання процесів на основі їх диференціальних характеристик, що дозволяє вирішувати задачу Дирихле. Розроблений спеціальний обчислювальний алгоритм, що дозволяє знизити обчислювальну похибку.

  Скачати повний текст

Досліджено дискретну інтерполяцію спіралеподібних і замкнених дискретно представлених кривих (ДПК) на підставі аналізу характеру змін кутів суміжності ланок супровідної ламаної лінії ДПК з наступним формуванням множини даних кутів для згущеної ДПК. Запропоновано метод, що базується на доведеній тотожності згущення, що пов'язує значення кутів суміжності до та після згущення. Шляхом введення додаткових умов на співвідношення між зазначеними кутами одержано різноманітні різницеві схеми, що гарантують високу точність розрахунків та відсутність осциляції згущеної ДПК. Запропоновано та теоретично обгрунтовано спосіб згущення з використанням геометричних співвідношень між кутами суміжності. Цей спосіб однаково ефективний на опуклих і перехідних ділянках, що відслідковує точки перетину. Наведено спеціальну тригонометричну функцію для неперервного, а також дискретного локального моделювання ДПК, проаналізовано її форму залежно від зміни параметрів, встановлено співвідношення їх значень для запобігання осциляції або для формування перехідної ділянки. Зазначені задачі розв'язано для локального та глобального згущення.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження скінченних елементів різної конфігурації задля побудови базисних функцій з подальшим відновленням фізичних полів. Одержано нові класи моделей на плоских і просторових серендипових елементах вищих порядків. Розв'язано задачу про кручення призматичних стрижнів прямокутного перерізу методом скінченних елементів з використанням стандартних та альтернативних серендипових моделей. Виявлено й аналітично доведено явище стійкості фізичних полів щодо серендипового базису. Побудовано унітарні базиси на восьмикутному скінченному елементі та проведено дослідження їх на гармонічність. Розроблено несітковий обчислювальний метод для відновлення фізичних полів у областях неопуклої форми. Проведено його апробацію за допомогою відомих обчислювальних методів і комп'ютерних і фізичних експериментів.

  Скачати повний текст

Дисертація присвячена розробці нових способів геометричного моделювання дискретних точкових множин на основі критерію найменшого граничного відхилення. Головними вимогами, що висуваються перед способами, що розробляються, є відсутність осциляції рішення і можливість одержання екстремальних значень, критерію. Основою запропонованих способів є опорні дискретно подані криві, що обмежують смугу рішення і дають можливість виконати поставлені вимоги, як при наявності апроксимуючої функції, так і без неї. У процесі моделювання враховуються висунуті перед рішенням диференційно-геометричні вимоги у вигляді заданих значень розділених різниць або похідних. По кожному із запропонованих у роботі чотирьох способів, що базуються на побудові опорних кривих, складені алгоритми і програми розрахунків на ПЕОМ.

  Скачати повний текст

Досліджено новий метод варіативного дискретного геометричного моделювання (ВДГМ) на підставі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів, який базується на схемі, що виражена через кути згущення, які складають деяку задану частину від кутів суміжності в точках згущення. Встановлено, що розроблений метод дозволяє проводити глобальне керування формою згущеної кривої та її локальну корекцію, задовольняє додатковим умовам на співвідношення кутів суміжності в запропонованій варіативній схемі з метою одержання нових можливостей у моделюванні й керуванні формою модельованої кривої, та дозволяє спростити розрахунковий процес і знизити втрати часу на одержання результату. Введено поняття безрозмірного коефіцієнта співвідношення кутових параметрів, що переносить співвідношення між кутами суміжності з вихідної на згущену дискретно представлених кривих (ДПК), запропоновано спосіб визначення кутових характеристик вихідного точкового ряду для кривих довільної конфігурації, розроблено спосіб складання та розв'язання різницевих схем, одержаних у результаті накладання додаткових умов на співвідношення між кутами суміжності з використанням якого було одержано різноманітні розрахункові схеми згущення. Наведено основний алгоритм розробленого методу, та висвітлено питання стійкості методу. Розглянуто прикладні задачі геометричного моделювання: дискретна інтерполяція перехідних, прямолінійних ділянок і ділянок ДПК поблизу особливих точок, а також питання згущення просторових кривих довільної конфігурації на основі її природного та параметричного подання.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст