Розроблено й обгрунтовано новий числово-аналітичний метод дослідження існування та побудови періодичних розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь і розв'язків, які задовольняють лінійні крайові умови. Для знаходження розв'язків побудовано послідовні наближення, знайдено умови й оцінки їх рівномірної збіжності, зв'язок межової функції з точними розв'язками. Встановлено модифікації методу, які досліджують задачі у некритичному та в критичному випадках. Визначено теорію систем лінійних диференціальних рівнянь з виродженою матрицею за похідної, які зводяться до центральної канонічної форми та піддаються імпульсному збуренню. Висвітлено необхідні та достатні умови існування та побудовано в аналітичному вигляді розв'язки лінійної нетерової крайової задачі для вироджених диференціальних систем з імпульсною дією типу "interface conditions".

  Скачати повний текст

Висвітлено питання побудови мінімаксних середньоквадратичних оцінок для функціоналів залежно від розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого порядку та диференціальних рівнянь за спостереженнями, що використовують інформацію про самі розв'язки та про їх похідні. За результатами досліджень задачі мінімаксного оцінювання зведено до спеціальних задач оптимального керування спряженими рівняннями з квадратичними критеріями якості у разі обмежень і без обмежень на керування. Доведено теореми про загальний вигляд мінімаксних оцінок фунціоналів і знайдено похибки оцінювання. Встановлено, що ці оцінки визначаються через розв'язки деяких систем диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь з частинними, або звичайними похідними, для яких доведено їх однозначну розв'язність.

  Скачати повний текст

Розглянуто питання конструктивного аналізу нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та систем диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсами у фіксовані моменти часу. Встановлено необхідні та достатні умови розв'язку загальних нетерових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією та без неї. Побудовано узагальнені матричні функції Гріна відповідних крайових задач та узагальнений оператор Гріна, досліджено їх властивості. Розв'язано задачу регуляризації не скрізь розв'язної лінійної нетерової імпульсної крайової задачі за допомогою слабких збурень коефіцієнтів імпульсної системи та крайових умов. Отримано коефіцієнтну умову виникнення розв'язку слабкозбуреної імпульсної лінійної нетерової крайової задачі в тому випадку, коли відповідна породжуюча крайова задача не має розв'язків. Для слабкозбурених нелінійних крайових задач отримано необхідну та достатню умови існування розв'язку в критичному випадку, побудовано аналог рівняння для породжуючих амплітуд.

  Скачати повний текст

В дисертації досліджено крайові задачі з нетеровою лінійною частиною для диференціальних та імпульсних систем з повільними та швидкими змінними та для різницевих систем. Запропоновано та обгрунтовано метод дослідження таких крайових задач, який грунтується на застосуванні теорії узагальнено-обернених матриць та методу Ляпунова-Шмідта. Отримані коефіцієнтні достатні та необхідні умови розв'язності таких задач в критичних випадках, коли відповідна породжуюча крайова задача має нетривіальні розв'язки. Запропоновані збіжні ітераційні алгоритми побудови таких розв'язків.

  Скачати повний текст

Запропоновано новий підхід щодо дослідження операторних рівнянь з обмеженнями, згідно з яким керування вводиться в обмеження. За допомогою даного підходу встановлено умови їх сумісності. На основі результатів, які одержано для даних рівнянь, визначено умови сумісності нелінійного інтегрального рівняння з обмеженнями. Розроблено інтеграційний та модифікований проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв'язків операторних рівнянь з обмеженнями. Визначено достатні умови збіжності та оцінки похибки зазначених методів. Застосовано інтеграційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до лінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями, надано обгрунтування методів і на їх основі запропоновано зручні обчислювальні схеми. Встановлено умови сумісності нелінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями. Обгрунтовано застосування до неї ітераційного та модифікованого проекційно-ітеративного методів. На основі даних методів розроблено обчислювальні схеми.

  Скачати повний текст

Використано метод усереднення для вивчення розв'язності крайових задач для деяких класів нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з повільними та швидкими рухами. Показано, що такого типу системи застосуються в математичній теорії багаточастотних систем і в теорії нелінійних коливань. Розв'язано багатоточкові задачі для коливних систем з майже періодичними за швидкими змінними правими частинами і залежними від повільних змінних частотами. Встановлено кількісну залежність похибки методу усереднення від величини малого параметра. Доведено нові теореми існування та єдиності розв'язків крайових задач з параметрами і багатоточковими та інтегральними крайовими умовами для коливних систем, частоти яких залежать від "повільного часу". Подано оцінки частинних похідних за початковими даними і параметрами різниці розв'язків задачі Коші для вихідних та усереднених коливних систем з імпульсним впливом. Знайдені оцінки використано для розв'язання крайових задач з параметрами та без них для імпульсних систем.

  Скачати повний текст