В дисертації досліджується функціонально-дискретний метод для розв'язування задачі Штурма-Ліувілля з крайовими умовами третього роду, періодичними та антиперіодичними умовами. Знайдені достатні умови, що гарантують швидкість збіжності методу не повільніше ніж геометричної прогресії із знаменником, який прямо пропорційно залежить від параметра дискретизації та обернено пропорційно від порядкового номера відповідного власного значення. Одержано узагальнення класичних асимптотичних розвинень для власних значень і власних функцій задачі Штурма-Ліувілля з негладким коефіцієнтом у диференціальному рівнянні, взятому у формі Ліувілля. Робота складається з вступу та трьох розподілів. В розділів. В розділі першому подані огляд літератури та основні положення дисертації. В розділі другому викладено теорію FD-методу для задачі Штурма-Ліувілля з крайовими умовами Діріхле та умовами третього роду. Знайдені достатні умови збіжності FD-методу із швидкістю не меншою ніж геометричної прогресії. Одержані явні апріорно-апостеріорні оцінки точності, з яких випливають строгі та нижні межи для власних значень. Приведена алгоритмічна реалізація методу. В третьому розподілі викладено обгрунтування FD-методу для задачі Штурма-Ліувілля з періодичними та антиперіодичними крайовими умовами. Показано, що ряди, які одержуються за допомогою FD-методу для власних значень і власних функцій є узагальненням класичних асимптотичних рядів. Знайдені достатні умови їх збіжності із швидкістю не повільніше ніж геометричної прогресії. Знайдено явні апріорні оцінки точності, за допомогою яких можна одразу так вибрати ранг методу (глибину рекурсії) та параметр дискретизації(кількість сходинок у кусково сталої функції, якою апроксимується коефіцієнт диференціального рівняння), щоб гарантовано досягти потрібної точності. Приведена алгоритмічна реалізація методу. Теоретичний матеріал ілюструється результатми чисельних експериментів, при проведенні яких використовувались засоби комп'ютерної алгебри.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено побудові нових конструктивних зображень розв'язків для абстрактної задачі Гурса зі змінним, обмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі та задачі Коші для лінійного гіперболічного рівняння першого порядку зі змінним необмеженим операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. Встановлено, що для отримання розв'язків вказаних задач використано FD-метод. На підставі зображень точних розв'язків побудовано наближені методи розв'язування задачі Гурса та задачі Коші, одержано апріорні оцінки точності отриманих наближень. Встановлено необхідні та відповідні умови того, щоб розв'язки даних задач були поліномами у разі, що вихідні дані задач (початкові умови та праві частини рівнянь) є поліномами.

  Скачати повний текст

Розроблено та обгрунтовано інтерлокаційні формули (узагальнені формули Лагранжа та Ерміта), доведено теорему про повноту побудованих інтерлокаційних в'язок. Розв'язано задачу Софі Жермен з локальними комбінованими навантаженнями пластини. Побудовано математичну і комп'ютерну модель екологічного стану з використанням конструктивних засобів теорії R-функцій (границю України та функцію атмосферного забруднення регіону, модифіковано інтерлокаційну формулу Лагранжа для урахування закону згасання функції забрудненості). Розвинено методи побудови нормалізованих рівнянь тривимірних локусів на базі теорії R-функцій. Побудовано нову R-операцію для задач блендінгу. Вперше інтерлокаційні формули застосовано під час побудови нормалізованих функцій, що описують блендінг на каркасі. Розроблено новий підхід до конструювання тривимірних поверхонь (на основі інтерлокаційної формули та бледінгу на каркасі), який надав змогу побудувати нормалізоване рівняння лопатки турбіни.

  Скачати повний текст

Для простого симетричного оператора S у просторі Понтрягіна доведено існування його самоспоряженого розширення з заданами регулярними точками. Одержано критерій рівномірної додатності (від'ємності) власних підпросторів самоспряженого розширення. Побудовано операторну модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни - Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса у невиродженому та виродженому випадках. Установленно взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка одержано опис всіх її рішень. Для однобічної інтерполяційної проблеми одержано достатні умови відсутності виключних параметрів. Досліджено межову індефінітну інтерполяційну проблему Неванлінни - Піка. Для випадку невиродженої матриці Піка одержано опис усіх її розв'язків.

  Скачати повний текст

Побудовано нескінченні добутки мінімального зростання із заданою послідовністю нулів, усереднена неванліннівська характеристика яких має задану оцінку зверху, яка визначається опуклою відносно логарифма мажорантою. Отримано повний опис інтерполяційних послідовностей класів аналітичних в одиничному крузі функцій, що визначаються додатною зростаючою опуклою відносно логарифма мажорантою і, зокрема, повністю розв'язано інтерполяційну задачу в класі аналітичних в одиничному крузі функцій скінченного порядку. Отримано опис інтерполяційних послідовностей класів цілих функцій, які визначаються додатною зростаючою опуклою відносно логарифма мажорантою, і є узагальненням, зокрема, класу цілих функцій порядку меншого від заданого. Встановлено, що новим моментом у доведенні майже всіх результатів є використання апроксимаційних теорем Клуні та Клуні - Коварі.

  Скачати повний текст

Представлено повний опис послідовностей нулів та сингулярних граничних функцій деяких класів функцій, аналітичних у півплощині, які визначаються заданими мажорантами. Розглянуто критерій розв'язності інтерполяційної задачі в класі функцій, аналітичних у півплощині, який визначається швидко зростаючою мажорантою.

  Скачати повний текст

Розв'язано та досліджено задачі поліноміального операторного інтерполювання Ерміта й Ерміта - Біркхофа в абстрактному гільбертовому просторі. Запропоновано множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій розглянуто побудову нових інтерполянтів, що за певним вибором інтерполяційних умов мають властивості єдиності на цій множині й асимптотичної (у аспекті зростання розмірності підпростору, на якому визначено інтерполяційні умови) точності на поліномах відповідного степеня. Знайдено умови Ерміта й Ерміта - Біркхофа, які забезпечують виконання даних властивостей. Для диференційованого за Гато оператора на вибраній множині конструктивно побудовано відповідні інтерполяційні формули Ерміта та Ерміта - Біркхофа, асимптотично точні на поліномах.

  Скачати повний текст

Досліджено інтерполяцію функцій багатьох змінних у просторі та часі. Обгрунтовано шляхи підвищення ефективності методів інтерполяції. Розроблено підхід для інтерполяції за допомогою NURBS-кривої, який дозволяє розширити область застосування даного виду кривої. Точність методу підвищено за допомогою оптимізації вагових коефіцієнтів. Досліджено та проведено лінеаризацію сферичної лінійної інтерполяції. З застосуванням нормованої лінійної інтерполяції підвищено швидкодію методу. Створено метод багатокубічної інтерполяції на основі сплайну Катмулла - Рома, який має переваги у кількості обчислювальних операцій відносно інших методів інтерполяції, визначено граничні умови сплайну.

  Скачати повний текст

Запропоновано новий підхід для інтерполяції багатовимірних функцій різницевими методами, який, на відміну від існуючих, базується на використанні багатовимірних різниць, що дозволяє вперше розробити багатовимірні різницеві математичні моделі для інтерполяції функцій багатьох змінних. Вперше запропоновано матричні моделі інтерполяції різницевими методами Ньютона та Гауса, що в порівнянні з класичними формами описання моделей дозволяє збільшити швидкодію за рахунок розпалювання процесу обчислень. Вперше запропоновано метод організації обчислень для інтерполювання функцій багатьох змінних за різницевими методами Ньютона та Гауса, який на відміну від класичного методу організації обчислень використовує схему Горнера, що дозволяє зменшити кількість обчислювальних операцій. Проведено дослідження ефективності розроблених методів щодо швидкодії та точності обчислення. Запропоновано методики та алгоритми для реалізації запропонованих математичних моделей та на основі них розроблено програмне забезпечення.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розв'язано актуальну наукову задачу щодо розробки інформаційної технології моделювання модифікованих дискретних елементів. Вперше сформульовано концепцію інформаційної технології моделювання дискретних моделей для розв'язання задач наближення та дослідження поліноміальних базисних функцій двох аргументів, яка об'єднує геометричне моделювання, числовий аналіз і комп'ютерне експериментування. На основі розроблених моделей, методів і алгоритмів створено інформаційну систему "SERENDIP" для моделювання стандартних і модифікованих базисів серендипової сім'ї з покращеними властивостями, котра вміщує каталог альтернативних моделей бікубічної інтерполяції. Адекватність одержаних результатів підтверджено математичним обгрунтуванням, числовим модкелюванням і розв'язанням задач, для яких відомі результати, одержані іншими методами або іншими науковцями.

  Скачати повний текст

Створено та програмно реалізовано автоматизовану систему діалогового моделювання прямих і обернених задач для систем, що описуються еліптичними та параболічними диференціальними рівняннями у тривимірному просторі. За допомогою розробленої системи розв'язано модельні приклади та практичні задачі. Загальну методику математичного моделювання прямих і обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами поширено на задачі моделювання процесів, що зводяться до розв'язання прямих і обернених задач для еліптичних систем. Побудовано множини функцій, якими з середньоквадратичною точністю описуються розв'язки прямих і обернених задач щодо досліджуваних процесів. Установлено критерії точності й однозначності цих розв'язків.

  Скачати повний текст

В дисертації побудовані і досліджені ітераційні алгоритми для лінійних рівнянь в скінченновимірному і банаховому просторах, названі багатократними агрегативно-ітеративними алгоритмами. Запропоновані агрегативно-ітеративні аналоги деяких числових методів, зокрема методу послідовної верхньої релаксації, методу найшвидшого спуску, чебишовського ітераційного методу, методу простих ітерацій. Отримані умови збіжності і оцінки похибок досліджених методів.

  Скачати повний текст

Обгрунтовано шляхи розв'язання науково-прикладної проблеми підвищення ефективності моделювання об'єктів з розподіленими параметрами за рахунок оптимального вибору вузлів різницевої сітки. Запропоновано новий підхід щодо автоматизованої побудови змінних нерівномірних різницевих сіток, адаптованих до динаміки зміни досліджуваної функції, який базується на використанні вкладених сіток і дозволяє істотно скоротити розмірність систем різницевих рівнянь та час моделювання. Обгрунтовано спосіб оцінки похибки розв'язку, який одночасно з похибкою визначає її чутливість до зміни конфігурації різницевої сітки, що скорочує обчислення на встановлення характеру її трансформації. Розроблено метод визначення параметрів трансформації сітки на підставі використання даних про чутливість похибки до величин кроків, що дозволяє уникнути розв'язання допоміжних диференційних рівнянь і скоротити витрати машинного часу на побудову нової сітки. Запропоновано методику побудови змінної нерівномірної сітки на базі функцій її трансформації, яка виключає використання допоміжних вагових функцій, що формуються вручну. Показано практичне значення одержаних результатів наукового дослідження, які дозволяють істотно скоротити час моделювання об'єктів з одночасним збереженням точності.

  Скачати повний текст

Розроблено нові схеми методу скінченних елементів (МСЕ) для розв'язання сингулярно збурених задач конвекції-дифузії. Для одновимірної крайової задачі конвекції-дифузії побудовано схему з кусково-показниковими базисними функціями, визначено достатню умову її стійкості, зроблено апріорне оцінювання швидкості збіжності й оптимальний вибір основи показникових функцій. Розроблено експоненціальну однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу. Запропоновано спосіб зведення варіаційної задачі конвекції-дифузії до еквівалентної задачі мінімізації квадратичного функціонала шляхом вибору простору тестових функцій методу Петрова - Гальоркіна. Розроблено простий для програмної реалізації алгоритм генерування близьких до рівномірних тріангуляцій двовимірних областей. Запропоновано способи побудови апостеріорних оцінювачів похибки МСЕ на підставі розв'язання одно- та двовимірних локальних задач на похибку. На підставі запропонованих оцінювачів реалізовано h-адаптивну схему МСЕ з використанням стійких експоненціальних апроксимацій. Розроблено програмне забезпечення нових методів й експериментально підтверджено їх ефективність.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Запропоновано ефективні алгоритми розв'язування систем лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР) з lambda - матрицями в моделі Леонтьєва. Розроблено схему зведення СЛАР динамічного варіанта моделі Леонтьєва з lambda - матрицями від багатьох змінних до систем з числовими коефіцієнтами спеціального вигляду. Проведено зворотний аналіз похибок заокруглення й аналіз обчислювальної стійкості запропонованих алгоритмів. Розроблено новий підхід до розв'язування кліткових алгоритмів для СЛАР з блочними елементами в моделях Леонтьєва та систем лінійних алгебричних рівнянь з m -вимірними lambda-матрицями в моделі Леонтьева. Засобами програмного забезпечення MatLab створено набір інструментальних алгоритмів для комп'ютерної реалізації динамічних міжгалузевих моделей. Проведено обчислювальні експерименти, які підтверджують ефективність запропонованих обчислювальних схем.

  Скачати повний текст

Одержано аналітичні розв'язки одного класу нелінійних іyтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають у задачах з вільною фазою за різних застосувань. Розроблено методику знаходження всіх розв'язків таких рівнянь та дослідження процесу їх галуження. Установлено існування точок появи та зникнення розв'язків і досліджено природу їх трансформації. Числово встановлено, що оптимальні розв'язки одержуються завдяки поліномам з найвищим степенем.

  Скачати повний текст

Розглянуто деякі аспекти, пов'язані з інформаційним підходом М.П. Корнєйчука до задач апроксимаційного змісту, які можна інтерпретувати як задачі наближеного відновлення деякого математичного об'єкта за неповною дискретною інформацією. У ході дослідження цих задач зручним апаратом виявилися сплайни і поліноми, гарні апроксимаційні властивості яких виявляються в успішному поєднанні використання дискретної й апріорної інформації. Встановлено властивості апроксимативних характеристик слабких розв'язків інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, зображених у вигляді сплайнів і поліномів, з урахуванням вектора інформації, заданого скінченним набором лінійних неперервних функціоналів, за наявності умов гладкості на його праву частину і ядро в функціональних просторах зі стандартними нормами (метриками).

  Скачати повний текст