Розглянуто FD-метод для задачі Штурма - Ліувілля з двоточковими роздільними крайовими умовами: умовами Діріхле та умовами третього роду, а також для двовимірних задач на власні значення з параметром у крайових умовах. Значну увагу приділено некласичним задачам на власні значення: з умовами Іонкіна - Самарського, Біцадзе - Самарського, ліво-визначені крайові задачі.

Рассмотрен FD-метод для задачи Штурма - Лиувилля с двоеточечными раздельными краевыми условиями: условиями Дирихле и условиями третьего рода, а также для двумерных задач на собственные значения с параметром в краевых условиях. Значительное внимание уделено неклассическим задачам на собственные значения: с условиями Ионкина - Самарского, Бицадзе - Самарского, лево-определенные краевые задачи.

Розглянуто методи межових інтегральних рівнянь, "послідовні" задачі Келдиша - Сєдова, метод параметричного диференціювання для розв'язання нелінійних крайових задач механіки суцільного середовища з вільними межами. Проаналізовано особливості розв'язання задачі занурення довільного тіла в нестисливу рідину та методи розв'язання крайових задач проникання в неньютонівську рідину, що грунтуються на методах послідовних наближень та квазілінеаризації.

Рассмотрены методы предельных интегральных уравнений, "последовательные" задачи Келдыша - Седова, метод параметрического дифференцирования для решения нелинейных краевых задач механики сплошной среды со свободными границами. Проанализированы особенности решения задачи погружения свободного тела в несжимаемую жидкость и методы решения краевых задач проникновения в неньютоновскую жидкость, обосновываемые на методах последовательных приближений и квазилинеаризации.

Наведено числово-асимптотичні методи побудови розв'язків нелінійних сингулярно збурених задач (СЗЗ). Висвітлено особливості обчислювальних аспектів асимптотичних наближень підвищеної точності СЗЗ типу конвекція - дифузія. Здійснено математичне моделювання нелінійних сингулярно збурених процесів типу конвекція - дифузія. Запропоновано сингулярно збурені моделі типу конвекція - дифузія - масообмін. Розглянуто СЗЗ з вільними межами. Проаналізовано проблеми моделювання деформацій дна русла поблизу головних частин різних гідротехнічних споруд.

Приведены числово-асимптотические методы решений нелинейных сингулярно возмущенных задач (СВЗ). Освещены особенности вычислительных аспектов асимтотических приближений повышенной точности СВЗ типа конвекция - диффузия. Осуществлено математическое моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов типа конвекция - диффузия. Предложены сингулярно возмущенные модели типа конвекция - диффузия - массообмен. Рассмотрены СВЗ со свободными границами. Проанализированы проблемы моделирования деформаций дна русла вблизи главных частей различных гидротехнических сооружений.

Розроблено конструктивні засоби методу R-функцій щодо математичного моделювання електромагнітиних процесів в областях, що мають симетрію циклічного типу та містять геометричні сингулярності. Показано, що моделювання процесів відбувається у всій розглянутій області щодо випадків, коли геометрична симетрія області збігається із симетрією фізичного поля, а також за наявності лише геометричної симетрії. Сформульовано та доведено теореми щодо побудови нормалізованих рівнянь границь геометричних об'єктів із симетрією трансляційного та циклічного типу, що дозволяє скоротити число R-операцій і опорних функцій, а також автоматизувати процес побудови таких рівнянь у результаті зведення всієї інформації про геометричний об'єкт лише до задання рівняння границі геометричного об'єкта, який підлягає трансляції, та задання числа елементів трансляції. Побудовано нові повні структури розв'язку з виродженими клиноподібними та Т-подібним включеннями, що враховують характер поведінки розв'язку в околі особливих точок границі області.

Побудовано й обгрунтовано числові методи для прямих і обернених задач з використанням інтегральних рівнянь, згідно з якими для наближеного розв'язання початково-крайових задач у необмежених областях спочатку здійснюється їх часткова дискредизація за методом Роте або шляхом перетворення Лагерра, а далі стаціонарні межові задачі редукуються до межових інтегральних рівнянь. За цього повна дискретизація здійснюється за методом квадратур з використанням тригонометричних квадратурних формул. Цей підхід застосовано для розв'язання важливих задач гідромеханіки, механіки суцільного середовища та дифракції пружних хвиль; еволюційні задачі для рівнянь з першою та другою похідними за часом на многовиді розв'язуються шляхом комбінації перетворення Келлі (або перетворення Лагерра) та методу інтегральних рівнянь. Розглянуто задачу поширення гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Досліджено єдність розв'язків обернених еволюційних задач реконструкції та диференційованість відповідних нелінійних операторів за межею області. Для наближеного розв'язання розвинуто методи регуляризації Ньютона і Ландвебера у поєднанні з методом межових інтегральних рівнянь.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.621-3,022 + В192.165,022

Рубрики:

Диференціальні рівняння математичної фізики

Наближене розв'язання рівнянь математичної фізики

Шифр НБУВ: РА306909 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Для моделей, що описуються мішаною задачею з граничними умовами Неймана для псевдогіперболічного рівняння, будується теорія сингулярної оптимізації та пропонуються необхідні чисельні методи. Досліджено питання існування та єдиності розв'язку крайової задачі. Отримано умови існування оптимального керування через праву частину та коєфіцієнти рівняння. В явному вигляді отримано градієнт критерію якості. Досліджено важливе для побудови чисельних методів питання про гладкість градієнту критерію якості для задач оптимізації з керуючою функцією загального виду. Запропоновано процедуру регуляризації керування та досліджено її близькість до вихідної задачі. Побудовано аналог методу Гальоркіна для наближеного розв'язання мішаної задачі, доведено сильну збіжність. Досліджено питання стійкості градієнтних методів оптимального керування.

Наведено методи побудови та результати досліджень операторів інтерфлетації функції трьох змінних (ТЗ) на різних скінченних елементах (СЕ) з однією криволінійною гранню. Розглянуто питання числової реалізації методу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (ЛІДР) у двовимірному випадку. Описано формули наближення функцій ТЗ з використанням інтерфлетації та визначено їх залишкові члени. Висвітлено загальну ідею побудови наближеного розв'язку крайової задачі методу зведення до системи ЛІДР, який базується на використанні високоточних інтерлінаційних формул, у випадку трьох просторових змінних та наведено схему методу СЕ у тривимірному випадку.

Рассмотрены эффективные двойственные методы, позволяющие получать приближенные решения краевых задач с математически гарантированной оценкой точности. Систематически используется метод введения вспомогательного функционального параметра. С его помощью построены пучки прямых задач - семейства прямых задач, заввисящих от функциональных параметров, выбор которых модифицирует исходные прямые экстремальные задачи. На их основе систематизировано построение неклассических двойственных задач. Исследования проведены для основных линейных стационарных задач теории теплопроводности, теории упругости и поперечного изгиба тонких пластин теорий типа С. П. Тимошенко и модели Кирхгофа - Лява. Приведены численные результаты, подтверждающие эффективность рассмотренных алгоритмов.

Встановлено точності розв'язання лінійних рівнянь в гільбертовому просторі з випадковими параметрами, зокрема, загального рівняння Шредінгера за наявності збурення, побудовано математичні моделі для опису явищ електронного та спінового транспорту в сильнокорельованих конденсованих середовищах, що базуються на сучасних уявленнях про найбільш важливі типи міжчастинкових взаємодій в таких середовищах і на багаточастинкових функціях Гріна та сильній міжчастинковій взаємодії. Розроблені моделі, на відміну від інших, дозволяють прогнозувати поведінку таких систем у разі зміни зовнішніх чинників, таких як температура та величина зовнішнього магнітного поля. Одержані вирази для електропровідності вказаних систем базуються на розрахованих числовими методами рівноважних і нерівноважних характеристиках, функціях систем, для одержання яких використовуються ітераційні процедури, що дозволяють провести числові експерименти моделювання явищ переносу як в реальних, так і в модельних системах, для яких встановлені оптимальні умови для спінового транспорту, що важливо для практики створення надшвидкодіючих комп'ютерних систем з великою щільністю запису інформації.

Досліджено задачі одностороннього контакту без тертя й ідеального механічного контакту кількох пружних тіл. Розглянуто їх еквівалентні формулювання у формі проблеми мінімуму функціонала Лагранжа й у формі варіаційної нерівності. Доведено збіжність методу простої ітерації для абстрактних варіаційних рівнянь з нелінійним доданком і показано, що швидкість збіжності у деякій енергетичній нормі є лінійною. Розроблено методику числової реалізації даних схем декомпозиції області для плоских контактних задач з використанням скінченно-елементних апроксимацій на лінійних і квадратичних трикутних елементах і межовоелементних апроксимацій на лінійних граничних елементах. Проведено числове дослідження ряду задач, яке показує добре узгодження результатів з теоретичними висновками щодо збіжності даних схем методів декомпозиції області та дозволяє виявити нові механічні ефекти.

Побудовано адаптивні алгоритми подання функцій рядами у базисах класичних ортогональних багаточленів, описано алгоритм відновлення оригіналу за допомогою ортогональних рядів, наведено окремі задачі сумування цих рядів. Запропоновано методи розв'язування диференціальних рівнянь та інтегральних рівнянь типу згортки. Побудовано адаптивний алгоритм відновлення оригіналу Лапласа на основі відомого його зображення. Досліджено моделі переносу домішкової речовини у пористих середовищах. Наведено методи розв'язування прямих та обернених задач дифузії.

Розроблено методологію збурень моделювання, дослідження й оптимізації параметрів систем типу "фільтрація-конвекція-дифузія-масообмін" в схильних до деформації середовищах у випадку взаємовпливу визначальних факторів процесу на характеристики середовища та врахування впливу зміни вільної границі "провідного" середовища на потік, додаткових джерел та явищ на основний процес за умов неповних даних. Відповідні алгоритми в комбінації з методом фіктивних областей застосовано під час розрахунку фільтраційно-суфозійної взаємодії в грунтових греблях, дренажних спорудах та інших гідросистемах. Запропоновано комплексний підхід до моделювання фільтраційних процесів в областях з вільними ділянками меж, а також алгоритм розв'язування відповідних крайових задач, що включає можливість передбачення різних типів ситуаційних станів залежно від коструктивних параметрів гідроспоруд. Розроблено математичну модель процесів нелінійної фільтрації в схильних до деформації гірських породах з урахуванням суфозії. Розглянуто різні підходи до моделювання та дослідження явищ зворотного впливу характеристик процесу фільтрування на характеристики середовища.

Побудовано та досліджено дискретні моделі для процесів тепло- та масопереносу, а саме для початково-крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних, що містять першу похідну за часом, конективні та дифузійні нелінійні доданки та систем рівнянь Нав'є - Стокса. Проведено регуляризацію, побудовано метод і чисельно розв'язано задачу ідентифікації точкових джерел з визначенням невідомих координат та інтенсивностей джерел. Побудовано нову дискретну модель для початково-крайової задачі для системи рівнянь Нав'є - Стокса, що описує процес рельєфоутворення та застосовано розроблений двокроковий симетризований алгоритм (ДС-алгоритм) для її розв'язання. Для гіперболічного рівняння першого порядку в дивергентній і недивергентній формах встановлено умови стійкості різницевих схем ДС-алгоритму, досліджено властивості апроксимації, дисипативності, консервативності, транспортивності, вплив штучної в'язкості. Побудовано ДС-алгоритми для псевдопараболічного рівняння, рівняння Бюргерса, досліджено питання локальної стійкості різницевих схем. Побудовано комп'ютерні моделі для процесу рельєфоутворення та процесу розповсюдження забруднень з зосередженими джерелами. Проведено чисельні експерименти на тестових задачах руху профілів великих градієнтів.

Розроблено математичний апарат побудови гібридних асимптотичних розв'язків для лінійних і нелінійних звичайних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Досліджено математичні моделі, які описують процеси теплообміну в тілах зі змінною геометрією. Наведено аналітичну оцінку подвійного гібридного ВКБ-Гальоркін розв'язку. Одержано наближені аналітичні розв'язки, які надали можливість дослідити діапазони зміни параметрів для старшої похідної та нелінійної складової й одержати ефективні аналітико-числові розв'язки. Розглянуто лінійну задачу поширення тепла тілом конічної форми та нелінійні задачі поширення температури за експоненціальним законом у ціліндрі або сфері, а також про складний теплообмін кільцевих ребер трапецоїдного перерізу.

Розглянуто структурні методи для розв'язання крайових задач у областях складної форми з метою підвищення точності розрахунків в околах кутових точок області розв'язання крайових задач та розробки локальних структур, що враховують граничні умови на межі області і стиковку зі стандартним базисом усередині області, а також застосуванню структурних методів до задач моделювання фізико-механічних полів. Досліджено деякі властивості існуючих конструктивних засобів структурних методів та розроблено нові конструктивні засоби. Запропоновано новий підхід до побудови гладких базисних функцій для гладких аж до межі розв'язків крайової задачі Дірихле в областях складної форми та нові підходи до побудови локальних структур, що враховують граничні умови.