Розглянуто нелінійні системи звичайних інтегро-диференціальних рівнянь, що виникають у динаміці відносного руху ідеальної однорідної нестисливої рідини в зв'язку з варіаційним методом Бейтмена - Люка - Уізема та є структурно подібними до рівнянь Гамільтона. Проаналізовано властивості цих систем рівнянь і відомий спосіб їх наближеного розв'язування шляхом виключення квазішвидкостей рідини та зведення до деякої системи рівнянь другого порядку відносно координат вільної поверхні. На випадок прямокутної посудини, частково заповненої рідиною, розвинуто альтернативний підхід, що базується на ідеї безпосереднього інтегрування точних вихідних рівнянь методом Рунге - Кутта. Розроблено алгоритм числового розв'язування цих рівнянь, можливості якого продемонстровано на задачі про нелінійні вільні коливання рідини в нахиленій прямокутній порожнині після її розгону.

Запропоновану раніше двовимірну модель коливань рідини у прямокутному резервуарі розвинуто на випадок тривимірних коливань у циліндричному резервуарі. Модель базується на точних інтегро-диференційних рівняннях типу Гамільтона, на відміну від моделей, що використовують оцінки порядку малості шуканих величин. Точні рівняння надано у матричному вигляді, встановлено блочну структуру їх матричних коефіцієнтів, особливу увагу приділено зв'язку одинарних і подвійних індексів у представленнях потенціалу швидкостей та вільної поверхні через прості та подвійні суми. Розроблено алгоритм числового розв'язування цих рівнянь, котрий тестується на задачі про нелінійні коливання рідини у вертикальному циліндричному резервуарі під час його прискорення у горизонтальному напрямі.

Порівняно моделі динаміки рідини, побудовані на основі варіаційного принципу Бейтмена - Люка - Уізема. Тестовою є задача про нелінійні коливання ідеальної однорідної нестисливої рідини у вертикальному круговому циліндрі, що здійснює довільні поступальні рухи у полі сил тяжіння. В основу однієї з моделей, яку названо гамільтоновою, покладено точні інтегро-диференцальні рівняння типу Гамільтона, а в основу другої, яку названо п'ятимодовою - звичайні диференціальні рівняння з поліноміальними коефіцієнтами. Проаналізовано та зіставлено вихідні співвідношення моделей, встановлено зв'язок між ними. Наведено докладне виведення рівнянь 5-модової моделі, що активно застосовуються останнім часом. Числово розв'язано задачу про коливання вільної поверхні рідини у баці, який рівномірно прискорюється з стану спокою. Порівняно результати обчислень узагальнених координат та ординат вільної поверхні. Наведено оцінки середньої квадратичної похибки та відносних похибок розрахунків за гамільтоновою моделлю відносно тримодової. Зазначено випадки суттєвих розбіжностей у розрахунках за цими моделями.

Зроблено огляд відомих детермінованих та ймовірнісних моделей сейсмічних коливань рідини у циліндричних резервуарах. У розвиток існуючих моделей запропоновано модель нелінійних сейсмічних коливань рідини. Ця модель базується на точних інтегро-диференціальних рівняннях типу Гамільтона динаміки ідеальної нестисливої рідини, що здійснює потенціальний абсолютний рух у рухомому резервуарі. Рух резервуара вважається поступальним та тривимірним. З побудованої нелінійної моделі як частинний випадок одержано загальні лінійні рівняння коливань рідини за (двовимірних) горизонтальних та вертикальних сейсмічних прискорень грунту. Досліджено взаємозв'язок цих загальних лінійних рівнянь з відомою моделлю Охоцимського. Відтворено та знову доведено результати кореляційної теорії сейсмічних коливань вільної поверхні рідини. Як приклад розглянуто випадок коливань рідини у резервуарі під час сильного землетрусу у м. Ніігата (Японія) 16 червня 1964 р.

Исходная общая задача теории относительного движения жидкости в виде уравнения Лапласа с граничными и начальными условиями переформулирована как начально-краевая задача для системы двух уравнений, состоящей из уравнения Лагранжа - Коши и уравнения Лапласа. Установлена гиперболичность уравнения Лагранжа - Коши для квазипотенциала относительной скорости жидкости. Показано, что свободная поверхность жидкости является характеристикой этой формы уравнения Лагранжа - Коши. Доказана возможность существования многозначных решений рассматриваемой задачи и приведен пример такого решения (задача о "летящем цилиндре"). Сформулированы условия совместности данных Коши на свободной поверхности жидкости как на характеристике.

Методами аналитической механики выведены различные формы уравнений движения идеальной однородной жидкости, сжимаемой и несжимаемой, отнесенных к одной и той же подвижной системе координат, и установлены их взаимосвязи. Найдены новые формы уравнений в подвижных осях, в том числе уравнение "абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат", отличное от одноименного классического уравнения. Предложена классификация уравнений, отнесенных к подвижным осям. Сформулировано и доказано общее утверждение о совпадении (при определенных условиях и с точностью до преобразования сдвига пространственных переменных) классического уравнения относительного и нового уравнения абсолютно-относительного движений жидкости. Это утверждение проиллюстрировано на примерах движения системы координат по поверхности Земли и угловых колебаний бака с жидкостью в лабораторных условиях.