Запропоновано метод прямого інтегрування диференціальних рівнянь рівноваги й суцільності в напруженнях у випадку одновимірних квазістатичних задач пружності та термопружності для неоднорідних і термочутливих ізотропних циліндричних тіл. Розв'язок кожної з одновимірних задач зведено до інтегрального рівняння Вольтерра другого роду, що дало можливість запропонувати швидкозбіжний ітераційний метод розрахунку.

Визначено температурне поле та зумовлений ним напружено-деформований стан кругового термочутливого циліндра, поверхня якого зазнає сталого тиску і через неї здійснюється його нагрівання шляхом конвективного теплообміну з зовнішнім середовищем, температура якого лінійно залежить від часу. Нелінійна задача теплопровідності розв'язується методом лінеаризуючих параметрів з використанням перетворення Лапласа. Квазістатична задача термопружності зведена до інтегрального рівняння Вольтерра другого роду, розв'язок якого побудовано методом простих ітерацій.

Запропоновано спосіб одержання простих формул для визначення напружень у довгому неоднорідному термочутливому порожнистому циліндрі з залежними від радіальної координати характеристиками матеріалу. Відповідну одновимірну квазістатичну задачу термопружності в напруженнях зведено до сукупності інтегральних рівнянь шляхом безпосереднього інтегрування рівнянь рівноваги та суцільності. Проведено порівняння числових результатів, одержаних за цією методикою, з використанням методу послідовних наближень, та точним розв'язком у випадку степеневої залежності модуля пружності.

Розроблено методики та програмне забезпечення для визначення напруженого стану в одно- та багатошарових неоднорідних і термочутливих у кожному шарі циліндричних тілах, а також для встановлення нестаціонарних одновимірних температурних полів у неоднорідних або термочутливих циліндричних тілах під час асимптотичних теплових режимів. Досліджено напружений стан у неоднорідному порожнистому циліндрі, викликаний внутрішнім тиском. Розглянуто розподіл температурних полів, напружень і термонапружень в одно- та багатошарових порожнистих циліндричних тілах з урахуванням залежностей у кожному шарі фізико-механічних характеристик матеріалів від радіальної координати і температури.

Одержано прості аналітичні вирази для розподілу напружень і перемішень у порожнистій неоднорідній вздовж радіуса кулі. Відповідну квазістатичну задачу термопружності у напруженнях зведено до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду й інтегральної умови. Розглянуто чотири випадки крайових умов з рівномірно розподіленими навантаженнями і (або) переміщеннями на поверхнях кулі. Порівняння числових результатів точних та наближених розв'язків для степеневої залежності модуля пружності від радіальної змінної свідчить про ефективність запропонованого підходу.

Задачу пружності для неоднорідної прямокутої області за плоского деформованого стану, коли задані масові сили, нормальні та дотичні навантаження на межі, зведено до розв'язування інтегро-диференціального рівняння та інтегральних умов. Рівняння записано відносно густини дотичних напружень.

Задачу термопружності у напруженнях для неоднорідного порожнистого довгого циліндра з довільною залежністю фізико-механічних характеристик матеріалу від радіальної координати зведено до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду відносно радіального напруження. Це рівняння одержано шляхом безпосереднього інтегрування рівнянь рівноваги та суцільності та розв'язано зведенням до системи алгебричних рівнянь. Результати обчислень порівняно з відомими точними розв'язками задачі термопружності для окремих залежностей характеристик матеріалу від радіальної координати. Визначено характеристики матеріалів, температурне поле та навантаження, які забезпечують нульове радіальне напруження в циліндрі.

Запропоновано інтегральні рівняння та інтегральні умови для розв'язування динамічної задачі теорії пружності і незв'язаної термопружності у неоднорідному довгому ортотропоному порожнистому циліндрі, одержані безпосереднім інтегруванням відповідних рівнянь руху та суцільності у напруженнях. Такий підхід дозволяє одержувати наближені аналітичні розв'язки задач пружності та термопружності без застосування інтегральних перетворень або розкладу в ряди за власними функціями.

Розроблено методику одержання аналітичних виразів для опису вісесиметричних стаціонарного теплового та статичного чи квазістатичного полів напружень і деформацій у довгих порожнистих багатошарових циліндрах із термочутливих матеріалів, на обмежувальних поверхнях яких задані сталі нормальні навантаження та довільні класичні умови теплообміну. Проблему побудови розв'язку задачі теплопровідності зведено до визначення одної сталої інтегрування, через яку визначаються всі інші такі сталі з нелінійного алгебричного рівняння, а задача термопружності - до розв'язання системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду з відповідними інтегральними умовами. В результаті застосування запропонованої методики розв'язання системи інтегральних рівнянь одержано формули для обчислення характеристик напружено-деформованого стану у вигляді функціональних залежностей від температури, масових сил, товщин шарів, поверхневих навантажень і залежностей механічних характеристик матеріалів шарів від температури.

Одержано аналітичний вираз стаціонарного розподілу температури вздовж радіуса неоднорідної порожнистді кулі, який забезпечує в ній нульові радіальні напруження. Для цього відповідну задачу термопружності зведено до розв'язування інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно радіальних напружень та визначення розв'язку задачі теплопровідності на множині функцій, яка забезпечує відсутність радіальних напружень.

Запропоновано метод визначення температурного поля та термомеханічних характеристик, які забезпечують нульові радіальні напруження по товщині довгого порожнистого неоднорідного вздовж радіуса циліндра. Розв'язування відповідної некласичної незв'язаної стаціонарної задачі термопружності зведено до розв'язування інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно температури. Одержано точні аналітичні вирази для температурного поля та колові напруження за відсутності масових сил та осьового навантаження. Проведено розрахунки відповідних температурних полів і термомеханічних характеристик для реально існуючого матеріалу.

Статичну задачу термопружності у напруженнях для порожнистої кулі з залежними від радіуса характеристиками матеріалу та сталими на поверхнях навантаженнями зведено до розв'язування інтегрального рівняння Фредгольма другого роду для радіальної компоненти тензора напружень. На основі цього рівняння встановлено зв'язок між температурою та характеристиками матеріалу, який є умовою відсутності радіальних напружень у кулі. Одержано аналітичні вирази, які зв'язують коефіцієнт теплопровідності та температурний коефіцієнт лінійного розширення, а також встановлено розподіл концентрації однієї зі складових матеріалу в межах моделі простої суміші, який забезпечує в кулі нульові радіальні напруження.

Визначено термонапружений стан радіально-неоднорідної термочутливої порожнистої кулі за заданих сталих навантажень на поверхнях і відомому в ній температурному полі. Відповідну задачу термопружності у напруженнях зведено до розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно радіальної компоненти тензора напружень. Досліджено вплив тпемпературних залежностей характеристик радіально-неоднорідного матеріалу на напруження та переміщення.

Сформульовано математичну модель теплового і термопружного станів тришарової термочутливої порожнистої кулі за складного теплообміну з довкіллям та сталими силовими навантаженнями на її обмежувальних поверхнях. Куля нагріта джерелом тепла, розміщеним у середньому шарі, а між сусідніми шарами виконуються умови ідеального термомеханічного контакту. Знайдено точний аналітичний розв'язок задачі теплопровідності та аналітичні вирази для компонент напружено-деформованого стану шляхом зведення незв'язаної задачі термопружності до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерри та певних інтегральних умов. Проаналізовано вплив температурної залежності характеристик матеріалів шарів на розподіл температури залежно від параметрів теплового навантаження.

Наведено основні етапи розвитку започаткованої професором В. М. Вігаком тематики досліджень, яка стосується теорії та методів оптимального керування тепловими процесами і термонапруженим станом деформівних твердих тіл, теорії обернених задач теплопровідності та термомеханіки, математичних методів механіки деформівного твердого тіла. Відзначено тісний зв'язок одержаних теоретичних результатів із прикладними проблемами теплоенергетики, які спонукали до розв'язування відповідних задач. Відмічено вклад науковців інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України у розвиток вказаної проблематики. Проаналізовано перспективи подальшого розвитку таких досліджень, а також окремі стадії життєвого та творчого шляху професора В. М. Вігака.

Запропоновано метод визначення стаціонарного температурного поля, яке забезпечує нульові радіальні напруження по товщині довгого порожнистого неоднорідного вздовж радіуса циліндра, а отже, і відсутність колових напружень за нульових масових сил та осьового навантаження. Розв'язування відповідної некласичної незв'язаної стаціонарної задачі термопружності зведено до розв'язування інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно температури. Одержано точні аналітичні вирази для температурного поля та інтенсивності теплових джерел. Записано зв'язки між коефіцієнтами лінійного теплового розширення і теплопровідності матеріалу, які за заданих теплових навантажень на поверхнях забезпечують відсутність колових і радіальних напружень у циліндрі. Розраховано температурні поля й інтенсивності джерел тепла для реально існуючого матеріалу.

Запропоновано метод визначення термомеханічних характеристик функціонально-градієнтного матеріалу, які забезпечують нульові радіальні напруження за товщиною довгого порожнистого неоднорідного вздовж радіуса циліндра за нульових масових сил. Записано точний аналітичний вираз, який за заданих теплових навантажень на поверхнях є умовою відсутності колових та радіальних напружень у циліндрі та пов'язує тепловий коефіцієнт лінійного розширення, коефіцієнти теплопровідності, Пуассона матеріалу, осьові навантаження та температурне поле. Розраховано відповідні термомеханічні характеристики реально існуючого двокомпонентного матеріалу з використанням моделі простої суміші Фойгта.

За допомогою методу комп'ютерного моделювання з використанням ізопараметричних скінченних елементів досліджено розподіл напружень у тонкій жорсткій пластині, з'єднаній з товстостінним циліндром. Визначено максимальні напруження в концентраторі (в околі з'єднання пластина-циліндр). Побудовано для різних матеріалів залежності цих напружень від діючого на пластину пневматичного (гідростатичного) тиску, які мають важливе прикладне значення.

Одержано умову відсутності напружень у довгому порожнистому неоднорідному вздовж радіуса циліндрі, який пов'язує нестаціонарне температурне поле, інтенсивність теплових джерел і термомеханічні характеристики матеріалу. Розраховано початковий розподіл температури, зміну температури на поверхнях, інтенсивності теплових джерел, які надають змогу створити відповідне температурне поле у функціонально-градієнтному матеріалі з реальними характеристиками.

У межах математичної моделі термочутливого тіла визначено і досліджено термопружний стан тришарової термочутливої порожнистої кулі за складного теплообміну та сталого силового навантаження на межевих поверхнях, а також наявності теплових джерел у середньому шарі. Одержано точний аналітичний розв'язок відповідної нелінійної задачі теплопровідності та наближені аналітичні вирази для компонент напружено-деформівного стану.