Работа посвящена методологии построения математических моделей сложных систем и расширению классов задач, допускающих эффективный поиск глобального минимума для экстремального управления сложными системами. Освещены общие проблемы математической теории систем, в частности, сложность систем, взаимосвязь системы с подсистемами, инвариантность систем по времени и принципы построения сложных систем. На основе изложенной методологии построены математические модели сложных систем рыночной экономики и проведен их анализ. Разработаны математические модели задач распределения ресурсов. Рассмотрены три класса сложных экономических систем: системы финансового и ресурсного обеспечения, а также задачи выполнения сложных проектов. Изложены основы выпуклого анализа, приведены результаты, полученные при дальнейшем его расширении. Предложены эффективные алгоритмы для решения классов многоэкстремальных задач. Разработана система обработки экономической информации на ПЭВМ.

Предложен новый класс задач полиномиальной оптимизации, позволяющий эффективно находить точку глобального минимума.

Запропоновано новий клас задач поліноміальної оптимізації, який дозволяє ефективно знаходити точку глобального мінімуму.

Предложены эффективные методы для решения многоэкстремальных задач. Приведены новые результаты по випуклому анализу, являющемуся теоретической базой экстремальных задач. Даны алгоритмы для решения одноэкстремальных задач, используемые как вспомогательные при решении сложных многоэкстремальных задач. Описаны схемы преобразования комбинаторных задач к многоэкстремальным задачам. Рассмотрены новые оптимизационные модели рыночной экономики, относящиеся к классу билинейных задач. Предложен программный пакет для решения оптимизационных задач.

Розглянуто напіввизначену релаксацію для загальних задач квадратичного програмування та використано новий узагальнений симплекс-метод для розв'язку цієї релаксації. Метод реалізований програмно і проведено численні експерименти, які свідчать, що напіввизначена релаксація є ефективною.

Проведены постановка и решение класса квадратичных оптимизационных задач компьютерной геометрии: поиск эллипсоида минимального объема, содержащего множество точек евклидового пространства, поиск минимального расстояния между эллипсоидами, построение гиперплоскости, разделяющей два эллипсоида. Предложены эффективные алгоритмы для решения этого класса задач.

Рассмотрена задача решения систем алгебраических и трансцендентных нелинейных уравнений. Эта задача преобразуется к поиску глобального минимума нелинейной функции. Предложен новый метод квадратичной регуляризации для нахождения точки глобального минимума. Решение иллюстрируется примерами. Проведенные численные эксперименты подтверждают эффективность метода.

Предложена методика расчета оптимальных объемов инвестиций предприятий и их структуры на основе сложной математической модели рынка. Модель реализована программно в надстройке Excel_SP со встроенным языком программирования сложных систем. Проведенные многочисленные эксперименты показали эффективность предложенной методики.

Предложено обобщение симплекс-метода для решения задачи полуопределенной оптимизации на основании аппроксимации конуса полуопределенных матриц суммой матриц ранга единица. Алгоритм реализован в виде компьютерной программы. Проведенные численные эксперименты показали эффективность предложенного алгоритма.

Изучены теоретические и вычислительные аспекты детерминирования конечной оптимизации. Особое внимание уделено разработке новых эффективных численных методов глобальной оптимизации и их сравнительному тестированию. Рассмотрены вопросы выпуклого и поливыпуклого анализа, доказана новая теорема о сходимости оптимизационных алгоритмов, выведены понятия поливыпуклых функций и множеств. Для задач негладкой оптимизации введено понятие модульной функции и предложен метод последовательного раскрытия модулей. Охарактеризованы методы решения многоэкстремальных задач. В глобальной оптимизации выделено три направления исследований: полуопределенная, поливыпуклая оптимизация и точная квадратичная регуляризация. Предложен алгоритм поиска точки глобального минимума в задаче минимизации линейной функции на пересечении эллипсоидов. Разработана общая схема преобразования задач теории расписаний к многоэкстремальным задачам.

Рассмотрены задачи полуопределенной оптимизации и методы их решения. Предложен новый полуопределенный симплекс-метод для решения задач полуопределенной оптимизации на основе аппроксимации конуса полуопределенных матриц суммой матриц ранга единица. Сравнительные численные эксперименты подтверждают эффективность полуопределенного симплекс-метода.

Рассмотрена общая задача квадратичной минимизации с квадратичными ограничениями. При помощи полуопределенной релаксации она преобразуется к задаче линейной полуопределенной оптимизации, решение которой позволяет найти нижнюю оценку решения квадратичной задачи. Найденное решение используется в качестве начальной точки в прямо-двойственном методе внутренней точки для решения квадратичной задачи. Численные эксперименты показали эффективность предложенного метода.

Розроблено теорію та методи знаходження точок глобального мінімуму в багатоекстремальних задачах. Запропоновано новий розділ глобальної оптимізації - суперопукла оптимізація, для якої визначено канонічну форму та розроблено метод релаксаційних відтинань. Досліджено складні системи - напіввизначеній оптимізації, для розв'язку задач якої розроблено узагальнений симплекс-метод. Новий напрям у глобальній оптимізації відкриває метод квадратичної регуляризації, за допомогою якого всі багатоекстремальні задачі розбиваються на два класи складності. До першою класу відносяться ті, які зводяться до опуклих задач, а другий клас утворюють задачі, що перетворюються до максимізації квадрата норми вектора на опуклій множині. Запропоновано схему кусково-лінійного моделювання для динамічних задач виконання складних проектів. Побудовано нові моделі ринкової економіки, числова реалізація яких дозволила дослідити проблемні питання її функціонування. Всі розроблені методи та алгоритми реалізовано у програмному пакеті Excel_SP з доступною вбудованою мовою програмування. Виконано значну кількість порівняльних експериментів для апробації запропонованих методів та алгоритмів, які свідчать про їх перевагу над відомими методами за розв'язки складних багатоекстремальних задач.

Рассмотрена задача расположения датчиков в сети с минимизацией нормы отклонений от заданных расстояний. Для ее решения используются полуопределенная релаксация и новый полуопределенный симплекс-метод. Метод реализован програмно, проведены многочисленные эксперименты, которые показывают, что полуопределенная релаксация для этого класса задач является эффективной.

Розглянуто складну динамічну задачу виконання множини комерційних проектів із обмеженими ресурсами. Ця задача перетворюється в багатоекстремальну, для якої запропоновано ефективні алгоритми. Розроблено програмне забезпечення для розв'язання поставленої задачі.

Розглядаючи вибіркову криву попиту та пропозицію як функцію ціни та тенденції її зміни, одержано диференціальне рівняння для оптимальної рівноважної ціни.

Розв'язано задачу локалізації датчиків у мережі за допомогою напіввизначеної релаксації та узагальненого симплекс-методу. Проведені числові експерименти показують ефективність застосованого методу.

Приведены основные понятия исследования операций и оптимизации. Изложены общая формулировка задачи и теоретические основы, необходимые для разработки алгоритмов и их сравнения. Рассмотрены основные положения линейного программирования, сложные проблемы целочисленной оптимизации, сведения о современных методах решения таких задач. Рассмотрены оптимизационные задачи на сетях, для некоторых их них разработаны достаточно эффективные алгоритмы. Предложен новый метод точной квадратичной регуляризации для решения многоэкстремальных задач. Освещены основы стохастической оптимизации. Рассмотрены задачи, которые могут быть решены с помощью динамического программирования. Это сложная задача коммивояжера и задачи оптимального резервирования сложных технических систем. Изложены элементы теории матричных игр, прикладные задачи оптимального проектирования конструкций.

Предложено обобщение симплекс-метода для решения задач полуопределенной оптимизации на основе последовательного представления конуса полуопределенных матриц суммой матриц ранга единица с положительными коэффициентами. Это позволяет свести решение исходной задачи к последовательности задач линейного программирования. Алгоритм реализован в виде компьютерной программы. Проведенные сравнительные численные эксперименты показали эффективность предложенного алгоритма.

The author proposes generalization the simplex-method for solving the problem of semidefinite optimization. Approximation of a cone of positively semidefinite matrixes of sum matrixes of a rank unit with positive coefficients is used. It allows to reduce the solution of an initial problem to sequence of problems of linear programming. The algorithm is realised in computer software. The numerical experiments have shown the efficiency of the offered algorithm.

Рассмотрены задачи глобальной оптимизации, необходимый математический аппарат, в частности, приведены основы выпуклого анализа. Уделено внимание методам локальной оптимизации. Указано, что в простых случаях задача нелинейной оптимизации может быть решена методом множителей Лагранжа. Для более широкого класса задач предложена комбинация метода Франка - Вулфа и метода множителей Лагранжа. Охарактеризован метод точной квадратичной регуляризации для решения многоэкстремальных задач. Показано, что метод точной квадратичной регуляризации может быть использован для решения сложных задач глобальной оптимизации большой размерности.

Розглянуто задачу оптимізації надійності складних технічних систем за обмежених ресурсів на їх обслуговування. Наведено нову оптимізаційну постановку задачі, яка є багатоекстремальною. Запропоновано метод точної квадратичної регуляризації для розв'язання оптимізаційної задачі. Численні приклади показують більш високу ефективність методу точної квадратичної регуляризації.