Наведено необхідні та достатні умови існування та спосіб знаходження спільних унітальних дільників із заданою канонічною діагональною формою багаточленних матриць над полем за умови, що відповідні факторизації матриць є паралельними до факторизацій їх канонічних діагональних форм.

На базі запропонованої загальної концепції еквівалентності матриць над кільцями виконано огляд результатів, що стосуються різних типів редукцій матриць над кільцями скінченно породжених головних ідеалів і які розвивають ідеї П. С. Казімірського стосовно проблеми факторизації матриць. Вивчено множини регулярних адекватних елементів у комутативних кільцях скінченнопороджених головних ідеалів, дільники нуля яких належать радикалу Джекобсона. Описано вплив різнотипних послаблень умови адекватності на процес діагональної редукції матриць. Досліджено узагальнену та напівскалярну еквівалентності матриць і їх скінченних наборів над областями Безу та кільцями багаточленів. Установлено їх певні форми щодо таких еквівалентностей і наведено деякі застосування цих форм.

Установлено необхідні та достатні умови існування спільних унітальних дільників матриць над кільцем багаточленів і спільних факторизацій симетричних матриць над кільцем багаточленів з інволюцією та запропоновано метод їх побудови.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.232

Рубрики:

Спеціальні класи матриць. Нескінченні матриці

Шифр НБУВ: Ж64699 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.232 + В152.50

Рубрики:

Спеціальні класи матриць. Нескінченні матриці

Кільця

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Описано розв'язки трикутного вигляду матричних багаточленних рівнянь (МБР). Зокрема, встановлено умови, за яких розв'язки МБР з матрицями-коефіцієнтами трикутного вигляду є такого ж трикутного вигляду (ТВ), і запропоновано спосіб їх знаходження. Вказано вигляд усіх розв'язків ТВ з одним елементарним дільником і простої структури МБР.

Встановлено стандартну форму щодо пари матриць над адекватним кільцем стосовно введеного поняття узагальненої еквівалентності, а також форму набору багаточленних матриць над довільним полем щодо напівскалярної еквівалентності. З'ясовано умови узагальненої еквівалентності пар матриць та критерій їх діагоналізовності. На підставі встановлених форм розроблено метод факторизації матриць. Описано паралельні факторизації матриць над адекватними кільцями та кільцями багаточленів над довільним полем. Вказано критерії єдиної факторизації матриць та їх дільників. Встановлено умови розкладності багаточленів матриці на унітальні множники залежно від кратностей її характеристичних коренів та степенів елементарних дільників. Описано структуру багаточленних матриць без кратних характеристичних коренів. Встановлено межі щодо кількості лінійних унітальних дільників багаточленної матриці та вказано зв'язки між кількістю дільників і звідністю матриць до кліткових виглядів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.232 + В152.50

Рубрики:

Спеціальні класи матриць. Нескінченні матриці

Кільця

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Встановлено межі для числа розв'язків матричних многочленних рівнянь, характеристичні корені яких мають кратності не більші ніж два та досліджено кліткову структуру характеристичних матриць цих рівнянь залежно від числа їх розв'язків.

Доказано, что адекватное кольцо с ненулевым радикалом Джекобсона имеет стабильный ранг один. Указан класс матриц над адекватным кольцом, имеющий стабильный ранг один.

Запропоновано метод побудови розв'язків матричних однобічних діофантових поліноміальних рівнянь, який базується на трикутних формах з інваріантними множниками на головних діагоналях набору поліноміальних матриць щодо напівскалярної еквівалентності. Надано розв'язки мінімальних степенів цих рівнянь і встановлено критерій однозначності таких розв'язків.

Введено поняття абсолютної розкладності матриць на множники у кільцях клітково-трикутних матриць над комутативними областями головних ідеалів. Вказано умови абсолютної розкладності клітково-трикутних матриць і виділено класи матриць з такою властивістю. Наведено формулу для обчислення максимальної кількості класів неасоційованих розкладів на множники у таких кільцях матриць та кількості неасоційованих розкладів для певних клітково-трикутних матриць.

Введено поняття (z, k)-еквівалентності матриць над квадратичними кільцями. Встановлену стандартну форму матриць відносно (z, k)-еквівалентності застосовано для опису структури розв'язків матричного рівняння AX + YB = C над квадратичними евклідовими кільцями. Доведено існування розв'язків з мінімальною евклідовою нормою та встановлено, що це рівняння має скінченну кількість таких розв'язків над квадратичними евклідовими уявними кільцями.

Досліджено стандартну форму матриць над квадратичними кільцями відносно (z, k)-еквівалентності. Встановлено, що стандартна форма матриць над квадратичним кільцем цілих гаусових чисел, евклідові норми визначників яких є менші, ніж чотири, дорівнює її канонічній діагональній формі. Такі матриці над квадратичним кільцем цілих гаусових чисел (z, k)-еквівалентні тоді і тільки тоді, коли вони еквівалентні, тобто їх канонічні діагональні форми рівні.

Наведено огляд результатів досліджень одного з напрямків, що стосується еквівалентності матриць, започаткованого П. С. Казімірським і продовженого та розвиненого його учнями. Сформульовано стандартні форми поліноміальних матриць і їх скінченних наборів відносно напівскалярної еквівалентності та узагальненої еквівалентності пар матриць над кільцями. Наведено застосування таких стандартних форм при побудові методів факторизації матриць, розв'язуванні матричних рівнянь, опису структури розв'язків цих рівнянь, зокрема матричних рівнянь типу Сильвестра, матричних лінійних діофантових рівнянь і в інших задачах.

Досліджується (z, k)-еквівалентність пар матриць над кільцем цілих гауссових чисел і їх звідність до стандартних форм. Встановлено, що число стандартних форм пар матриць над цим кільцем є скінченним. Наведено класи пар матриць з мінімальними і максимальними числами стандартних форм.

Наведено огляд методів розв'язування матричних лінійних різносторонніх рівнянь, зокрема рівнянь типу Сильвестра над різними областями та опису структури їхніх розв'язків. Увагу зосереджено на розширенні і узагальненні результатів, одержаних авторами раніше. На основі стандартної форми поліноміальних матриць відносно напівскалярної еквівалентності розроблено метод розв'язування матричних поліноміальних рівнянь типу Сильвестра. Досліджено структуру їхніх розв'язків. Виділено розв'язки обмежених степенів і наведено умови єдиності цих розв'язків. Запропоновано метод побудови розв'язків матричних рівнянь Сильвестра над адекватними кільцями, а також встановлено критерії єдиності розв'язків певного вигляду. Встановлено умови існування розв'язку матричного рівняння Сильвестра у кільцях трикутних та блочно-трикутних матриць над комутативною областю головних ідеалів.