Ч. 2 : 1937. - 996 с.

Одна из классических фундаментальных книг по математической физике. Перевод 2-й части (прикладной, т. е. физической) немецкого издания. Первая часть (общематематическая) не вошла в русское издание.

Настоящая книга рассчитана на довольно широкий круг читателей математиков — студентов университета и преподавателей, студентов технических вузов и инженеров. Развитие классической теории интегрирования и прикладных математических и физических теорий делает совершенно неизбежным использование теории интеграла Лебега в теории уравнений математической физики и особенно в теории интегральных уравнений (см., например, книги Соболева, Привалова и Михлина по теории интегральных уравнений). Однако в программах механической и физической специальностей совершенно не затрагиваются элементы теории функций действительного переменного, а изучение полного курса — задача довольно сложная для физика или механика. Цель настоящей книги — дать достаточно строгое изложение теории интеграла Лебега с возможно кратким необходимым введением по теории множеств и функций. В изложении интеграла Лебега и его основных свойств мы несколько отступаем от исторического порядка развития настоящего понятия, упрощая многие выводы. Кроме того, книга оснащена достаточным количеством примеров и задач.

Нелинейные уравнения появляются в многочисленных задачах современной физики и техники. Поэтому важность исследования таких уравнений не вызывает никаких сомнений. В течение последних 25—30 лет появились и получили довольно широкое развитие топологические методы исследования нелинейных уравнений. Эти методы возникли в связи с теоремами существования решений, но в настоящее время нашли приложения в самых разнообразных задачах

Т. 1. - 1956. - 415 с.

Настоящая книга представляет собой расширенное изложение лекций, читанных автором в Ленинградском университете. Теория Фредгольма строится на основе аппроксимации (но без последующего предельного перехода) данного ядра вырожденным; такое построение, помимо его простоты, привлекательно еще тем, что оно очевидным образом связывает уравнения Фредгольма как с линейными алгебраическими системами, так и с более общими уравнениями, содержащими вполне непрерывные операторы. В пользу данного построения теории Фредгольма говорит и то, что оно принято появившихся за последние годы.

В этой книге в основном изложены результаты работ автора, относящихся к теории многомерных сингулярных интегралов и уравнений, содержащих такие интегралы; в той мере, в какой это необходимо для построения указанной теории, приведены результаты других авторов. Автор имел, однако, в виду, что существует ряд важных и интересных работ по сингулярным интегралам, основанных на других идеях и не связанных прямо с проблематикой настоящей книги.

Теория абстрактных вольтерровых операторов возникла недавно в связи с идеями и результатами общей теории несамосопряженных операторов. Основу теории вольтерровых операторов составляет теория абстрактного треугольного интеграла, которая детально излагается в двух концентрах. Представление оператора треугольным интегралом есть континуальный аналог приведения матрицы унитарным преобразованием к треугольному виду. Достаточно подробно изучается также задача факторизации оператора вдоль цепочки ортопроекторов — континуальный аналог задачи разложения квадратной матрицы в произведение левой и правой треугольных матриц. Эти абстрактные «несамосопряженные» построения находят неожиданные применения при исследовании спектра самосопряженных операторов, в частности спектра краевых задач для канонических систем дифференциальных уравнений: устанавливаются новые оценки для собственных чисел, общие асимптотические формулы, новые оценки зон устойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами. Все эти результаты получаются как следствия общих положений о зависимостях, существующих между спектрами эрмитовых компонент вольтеррова оператора. В связи с общей идеей факторизации излагается новый метод решения интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода, уже нашедший применения в некоторых задачах математической физики.

Книга содержит 322 задачи (с ответами) по основным вопросам курса интегральных уравнений. Состоит из трех глав: интегральные уравнения Вольтерра, интегральные уравнения Фредгольма, приближенные методы. В каждом параграфе приводится сводка основных результатов и формул и даются подробно разрбравные типоыые примеры; в приложении—сводка основных методов решения интегральных уравнений. Книга предназначается для студентов втузов и инженеров.

Издание второе. Несмотря на наличие богатой литературы по математической физике, студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, так же как и инженеры, работающие в промышленности, которым необходимы первоначальные сведения по уравнениям математической физики, испытывают серьезные затруднения в подборе руководства по этой важной отрасли прикладной математики. Авторы исходили из того, что читатель знаком только с обычным курсом высшей математики, изучаемым в наших втузах. Мы учитывали также, что читатель может интересоваться не обязательно всеми задачами математической физики, рассмотренными в книге, а только теми, которые имеют непосредственное отношение к его специальности (одних, например, могут интересовать только вопросы колебаний, других — задачи теплопроводности). В соответствии с этим книга построена так, что отдельные ее главы могут изучаться сравнительно независимо друг от друга.

Книга содержит основные сведения из вариационного исчисления и теории интегральных уравнений и их приложений к некоторым вопросам механики и математической физики. Даются также краткие сведения о принципе максимума Л. С. Понтрягина, принципе оптимальности Р. Беллмана и др. Отдельные положения теории поясняются примерами и решениями задач. Предлагаемое издание содержит ряд дополнений по сравнению с предыдущим: необходимые и достаточные условия экстремума в разрывных задачах с подвижными концами в пространстве, сведения из теории экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах, экстремальные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля и др. Книга предназначается для инженеров, экономистов, а также для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений.

Основное место в книге занимают уравнения Винера-Хопфа. Наиболее полная теория дискретных и интегральных уравнений Винера-Хопфа была построена ранее М.Г. Крейном. Методы функционального анализа позволяют получить эти результаты, в также результаты о других конкретных классах уравнений в свертках в одной общей схеме. В основу этой схемы положено своеобразное неклассическое операционное исчисление, объектами которого служат функции от односторонне обратимых операторов. Вторую тему книги составляют проекционные методы решения уравнений в свертках. Методы функционального анализа позволяют и здесь построить общую схему. Абстрактной основой этой схемы опять служит упомянутое неклассическое операционное исчисление. Среди рассмотренных проекционных методов особое внимание уделяется методу Галеркина и методу редукции. В заключительной главе книги результаты, полученные для скалярного случая, обобщаются на системы уравнений. Для удобства изложение начинается с теорем о факторизации матриц-функций. В дополнение к книге изучена асимптотика решений уравнений в свертках.

Монография посвящена дифференциальным и многомерным сингулярным интегральным уравнениям, а также интегральным уравнениям первого рода и интегродифференциальным уравнениям с ядрами со слабой особенностью. Класс таких уравнений получил название псевдодифференциальных уравнений. В книге методом Винера — Хопфа исследованы смешанные краевые задачи для эллиптических уравнений. Получена асимптотика решения. Разобраны примеры. Книга рассчитана на математиков и механиков.

Книга предназначена для первоначального ознакомления с основными фактами теории интегральных уравнений. Автор старался избегать громоздких доказательств и утомительных выкладок. Изложение ряда вопросов строится на основе общих предложений функционального анализа, что делает рассуждения более прозрачными. Для чтения книги достаточно знания математики в объеме первых двух курсов ВТУЗа.

В монографии излагаются результаты исследований по теории сингулярных и регулярных интегральных уравнений, используемых при решении плоских и пространственных статических задач теории упругости. Приводится вывод самих уравнений с построением вычислительных алгоритмов для их решения. Изложение сопровождается обширным расчетным материалом. Монография рассчитана на научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся по теории упругости и ее приложениям.

В книге дано изложение классической общей теории линейных интегральных уравнений и целого ряда ее приложений к дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению и некоторым задачам математической физики. В настоящем издании в книгу включено дополнение «О росте собственных значений однородных интегральных уравнений», написанное чл. корр. АН СССР А. О. Гельфондом. Книга представляет интерес для студентов, аспирантов и преподавателей математических дисциплин в вузах.

В книге рассматриваются краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. Она содержит результаты исследований автора, его коллег по научному семинару и других авторов, полученные за последние годы. Основное внимание уделяется вопросам нетеровости и индекса сингулярных интегральных уравнений со сдвигом и теории разрешимости соответствующих краевых задач. Книга рассчитана на аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теории функций комплексного переменного, математической физики и функционального анализа, а также на студентов старших курсов механико-математических и физико-математических факультетов университетов и пединститутов, на студентов технических вузов с усиленной математической программой

В работе излагаются новые результаты по теории сингулярных интегральных уравнений с одним и двумя неподвижными особенностями и ядре. Такие уравнения часто встречаются в механике и математической физике. Излагается также существенно переработанная и дополненная теория интегральных уравнений в свертках с ядрами, преобразование Фурье которых - разрывные функции (уравнения в свертках с разрывными нредсимволами). Упомянутые уравнения тесно связаны друг с другом; для них получены условия иетеровости и формулы индекса, а также формулы для решения характеристических уравнений; исследована гладкость и асимптотика решений интегральных уравнений с неподвижными особенностями в ядре. Приводится ряд примеров из теории упругости и математической физики, к которым применяются полученные результаты. Большая часть результатов публикуется впервые.

Справочник содержит сведения о характеристиках систем с распределенными и сосредоточенными параметрами, состояние которых описывается уравнениями и системами уравнений в частных и полных производных и интегральными уравнениями. В справочнике приведены важнейшие характеристики таких систем: функции Грина (импульсные переходные функции), передаточные функции, собственные функции, собственные числа и собственные частоты, характеристические и дисперсионные уравнения, стандартизирующие функции. Справочник содержит около пятисот задач уравнений математической физики, для которых приведены эти характеристики. Излагаются элементы структурной теории распределенных систем. Справочник будет полезен широкому кругу специалистов самых различных областей науки и техники (математики, физики, механики, кибернетики, химии, электротехники и др. ), занимающихся как теоретическими исследованиями, так и практическими расчетами в данной области.

В книге излагаются вопросы асимптотического распределения собственных значений самосопряженных сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов. Кинга состоит из 10 глав. В главе I даются общие определения и основные понятия теории линейных дифференциальных операторов. В главе II изучается оператор Штурма — Лиувилля как на конечном интервале, так и на бесконечном. Глава III посвящена изложению общих понятий спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве. Основное содержание составляют главы IV—IX. В них излагаются вопросы асимптотического распределения собственных значений оператора Штурма — Лиувилля, одномерного оператора Дирака, а также дифференциальных операторов произвольного порядка как в полуограниченном, так и в неполуограниченном случаях. Основными методами исследования являются классический метод Карлемана и его развитие, принадлежащее авторам, а также вариационный метод, применяемый в книге для системы Дирака в главе VII. Книга завершается главой X, в которой излагаются необходимые тауберовы теоремы типа М. В. Келдыша.