Досліджено вплив залежності характеристик ергодичного перемикального марковського процесу від фазової координати на поведінку осцилятора.

Предложена новая консервативная разностная схема решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на неравномерной пространственно-временной сетке. Схема построена на стандартном девятиточечном шаблоне и характеризуется вторым порядком локальной аппроксимации по пространственной и временной переменным. Получены априорные оценки устойчивости, предложенной по начальным данным и правой части, а также доказана сходимость разностного решения со вторым порядком малости.

Розглянуто основні поняття, методи та формули теорії коливань лінійних систем. Увагу приділено навичкам і методам побудови математичних моделей елементів технічних конструкцій з використанням законів і принципів теоретичної механіки. Для дискретних систем поряд зі скалярною розглянуто матричну форму запису рівнянь коливань, яка є особливо актуальною на цей час, тому що є мовою безпосереднього програмування. На багатьох прикладах досліджено конкретні прийоми розрахунку вільних коливань (власних частот і форм) та вимушених - під дією змушувальних гармонічних сил. Для одержання амплітудних і фазових частотних характеристик у дискретних системах викладено метод комплексних амплітуд.

Установлено умови існування в моделі гетерогенного середовища однопараметричної сім'ї компактонних розв'язків.

На прикладі аналітичного розв'язку початково-крайової задачі про випромінювання акустичних хвиль плоским поршнем, що рухається, показано порушення принципу суперпозиції з урахуванням рухливості меж навіть для лінійного хвильового рівняння. Побудований розв'язок для руху поршня, зображеного у вигляді накладання коливань малої амплітуди на постійну швидкість, описує відомий ефект Доплера. Результати отримано за методом нелінійного перетворення часу.

Показано, що для розв'язання початково-крайової задачі з рухомими межами для лінійного хвильового рівняння необхідно в загальному випадку використовувати інтеграл Коші - Лагранжа з урахуванням двох квадратичних складових. У випадку невеликої швидкості розширення циліндричної порожнини з нульовим початковим радіусом основною складовою є квадрат швидкості. За умови збільшення швидкості розширення зростає внесок другої складової. Для плоских хвиль на початку розширення порожнини з ненульовим початковим радіусом і в дальній зоні можна користуватись лінійним інтегралом, оскільки сума квадратичних складових дорівнює нулю.

Сформульовано критерій рівномірної коректності та одержано оцінки норм розв'язків задачі Коші для хвильового рівняння з інтегральними граничними умовами. Критерій подано в термінах умови Макенхаупта для спеціальної ваги на контурах, що охоплюють спектр задачі. Одержані результати можна використати для дослідження різних граничних задач лінійної акустики в некласичній постановці.

Розглянуто нелінійні бігучі хвилі рівняння Клейна - Гордона з кубічною нелінійністю. Ці хвилі описуються звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, що має інтеграл енергії. Лінеарізоване рівняння у варіаціях для таких хвиль трансформується у звичайне диференціальне рівняння за допомогою розподілення змінних. Потім використовується так звана алгебраїзація за Айнсом. А саме, у рівняння у варіаціях вводиться нова незалежна змінна, що пов'язана з рішенням, яке розглядається. Під час такої трансформації використовується інтеграл енергії для стаціонарних хвиль. Перевага такого підходу пов'язана з тим, що для аналізу проблеми стійкості не треба використовувати специфічний вигляд рішення, що розглядається. В результаті такої алгебраїзації рівняння у варіаціях зі змінними за часом коефіцієнтами перетворюється у рівняння з особливими точками. Знайдено індекси особливих точок. Одержано необхідні умови стійкості хвиль. Рішення рівнянь у варіаціях, що відповідають межам регіонів стійкості/нестійкості у просторі параметрів системи побудовано у вигляді степеневих рядів за новою незалежною змінною. Можуть бути виписані нескінченні рекурентні системи алгебричних рівнянь для розрахунку коефіцієнтів цих рядів. Нетривіальні розв'язки таких систем можуть бути одержані, якщо їх визначники дорівнюють нулю. Ці визначники розраховано до п'ятого порядку включно, а потім одержано зв'язки між параметрами системи і відповідні межі регіонів стійкості/нестійкості у площині параметрів системи. А саме, встановлено зв'язки між параметрами ангармонізму та енергії хвилі. Аналітичні результати проілюстровано числовим моделюванням за допомогою процедури Рунге - Кутти. Спостережено відповідність числових та аналітичних результатів.