Книга посвящена систематическому изложению важной главы нелинейного функционального анализа. В книге развиваются методы исследования уравнений, содержащих существенные нелинейности и, в частности, уравнений, которые могут иметь много решений. Методы, развитые в книге, уже нашли разнообразные приложения в задачах теории волн, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем, в задачах геометрии в целом, в теории периодических решений уравнений нелинейной механики, в теории нелинейных краевых задач и др. Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и научных работников в различных областях математики, механики, связанных с необходимостью решать и исследовать нелинейные задачи. В настоящей книге развиваются методы исследования ряда вопросов, связанных с положительными решениями различных задач. Эти вопросы возникают во многих разделах математики. В связи с этим общие результаты, полученные в терминах функционального анализа, иллюстрируются приложениями к нескольким задачам: к первой краевой задаче для квазилинейных эллиптических уравнений, к нелинейным интегральным уравнениям, к нелинейным колебаниям, к задаче о точках бифуркации, к теории уравнений Монжа — Ампера и др. Приложения основаны на специальных построениях и используют свойства функций Грина различных дифференциальных операторов. Приведенными в книге примерами приложения, конечно, не исчерпываются; в настоящее время, например, изложенные методы получили приложения в задачах теории волн, в теории упругости и др. В книге изложены методы доказательства существования положительных решений. Указаны специальные признаки единственности положительного решения. Изучена зависимость решений от параметров. Рассмотрен вопрос о сходимости последовательных приближений к положительным решениям. Все эти вопросы потребовали выделения новых классов операторов. Изучение этих классов операторов в свою очередь привело к установлению новых фактов геометрии конусов в банаховых пространствах.