Одним из впечатляющих достижений С. Ли (1842-1899) явилось открытие, что известные частные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, казавшиеся искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп. Настоящая брошюра поможет читателю освоиться с совокупностью знаний и навыков по групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений. Она может служить в качестве краткого практического руководства для широкого круга научных работников, преподавателей и студентов.

Книга посвящена изучению интересного и сложного пути развития одной из важнейших отраслей математического анализа прошлого и начала настоящего века — аналитической теории дифференциальных уравнений. Она состоит из двух основных частей, рассматривающих теорию нелинейных и линейных уравнений. Особое внимание в первой части уделено методу мажорантных функций доказательства теоремы существования решений дифференциальных уравнений, классификации особых точек и исследованию уравнений с неподвижными и подвижными особыми точками; во второй — аналитическому выражению интегралов уравнений, их асимптотическому представлению, проблеме обращения решений дифференциальных уравнений, определению дифференциального уравнения по заданным свойствам (проблема Римана), алгоритмическому методу решения основных проблем аналитической теории линейных дифференциальных уравнений.

Брошюра знакомит читателя с основными задачами аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений на фоне ее исторического развития. Рассмотрено зарождение и становление этой теории, ее основные результаты как в области линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Брошюра рассчитана на математиков, преподавателей, учащихся вузов и всех, кто интересуется математикой и ее историей.

Книга известного американского математика, дающая обстоятельный обзор одного из современных направлений на стыке геометрии и дифференциальных уравнений. Цель автора - обучить читателя практически пользоваться аппаратом теории групп Ли. Примеры и содержательные приложения занимают в книге больше места, чем общая теория; они взяты из классической механики, гидродинамики, теории упругости и других прикладных областей. Для чтения книги достаточно основ анализа и алгебры: все необходимые сведения из геометрии многообразии содержатся в самой книге.

Предмет книги лежит на стыке алгебры и математического анализа. Излагаемая система фактов и алгоритмов открывает возможности эффективного исследования конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в качестве математических моделей в физике, механике, теории управления, вычислительной математике и других областях знания. В книге излагается общая теория локальных групп Ли преобразований и алгебр Ли операторов, теория инвариантов и инвариантных многообразий. Рассматриваются вопросы групповой классификации дифференциальных уравнений и их решений. Даются примеры применения техники группового анализа к конкретным системам дифференциальных уравнений.

Проблемой Римана интересовались крупнейшие математики XIX и XX вв. В монографии впервые эта проблема решается для случая двух линейных дифференциальных уравнений с тремя особыми точками на конечном расстоянии на основе новых (развитых для этой цели) направлений теории нелинейных систем дифференциальных уравнений. Рассчитана на специалистов по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Книга является первым в мировой литературе изложением современного состояния теории пучков — центрального инструмента многих важнейших разделов математики и, в частности, алгебраической геометрии и аналитической теории дифференциальных уравнений. Она содержит изложение микролокального анализа, включая язык производных категорий, микроноситель пучка, конструктивные пучки, превратные пучки и ряд важных приложений (например, неравенства Морса, формулу Лефшеца для конструктивных пучков, теорию голономных D-модулеЙ, микрорешения эллиптических и гиперболических систем). Предназначена математикам разных специальностей (специалистам по геометрии, анализу, дифференциальным уравнениям, теоретической физике), а также аспирантам и студентам университетов.

В настоящей книге изложено с некоторыми дополнениями содержание лекций, читанных в течение ряда лет студентам и аспирантам МГУ. Задачей курса было познакомить слушателей с классическими вопросами теории аналитических функций, выходящими за пределы содержания курсов и учебников по основам теории аналитических функций

Настоящая книга представляет собой обработку курса лекций, читанных в течение ряда лет студентам и аспирантам Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, и является продолжением «Лекций по аналитической теории дифференциальных уравнений». Содержанием этого курса является приложение методов теории аналитических функций и аналитической теории дифференциальных уравнений к классической задаче механики, задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки.

Групповой анализ служит для описания свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп преобразований. Он дает практические методы понижения порядка или полного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и построения отдельных классов точных решений линейных и нелинейных уравнений математической физики. Настоящая брошюра включает фрагменты курса лекций по групповому анализу, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.

Рекомендовано в качестве учебного пособия к спецкурсу “Современный групповой анализ дифференциальных уравнений” методическим советом математического факультета Российского государственного педагогического университета им.А.И.Герцена. В настоящем спецкурсе (спецкурс-1) излагаются вводные понятия и теоремы, необходимые для изучения современного группового анализа, но отсутствующие в основной программе физических и математических факультетов педагогических университетов. Спецкурс-1 может быть прочитан студентам (начиная с третьего курса, в том числе и студентам тьюторских групп), стажерам, аспирантам первого года обучения, слушателям ФПК, а также всем специалистам смежных и прикладных специальностей, интересующимся групповым анализом.

В лекциях начала аналитической теории дифференциальных уравнений излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связностями на римановой сфере. Этот подход позволяет добиться значительного прогресса в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана-Гильберта и задача о Биркгофовой стандартной форме, исследованию которых и посвящена книга. Лекции, начинающиеся с основ теории и требующие от читателя знакомства лишь со стандартными курсами обыкновенных дифференциальных уравнений и комплексного анализа, выводят его на передний край этой бурно развивающейся в последнее время области математики, имеющей важные приложения к задачам математической физики.

Монография посвящена одному из важных вопросов аналитической теории дифференциальных уравнений. В ней рассматриваются необходимые и достаточные условия существования нормально-регулярных решений и решений в замкнутом виде, показано применение нормально-регулярных решений в теории волноводов и теории колебаний. Книга предназначена для студентов старших курсов университетов, а также аспирантов и научных работников, занимающихся применением аналитической теории к решению практических задач.

Монография посвящена систематическому исследованию методами Ли — Овсянникова групповых свойств в построению точных решений уравнений теории упругости и пластичности: уравнений Ляме, уравнений теории пластичности Мивёоа в Треска. Дана групповая классификация среды, характеризуемой общей зависимостью тензора вязких напряжений от тензора градиента скорости. Книга предназначена для научных работников, специализирующихся по механике деформируемого твердого тела и смежным отделам прикладной математики, аспирантов и студентов.

Книга посвящена развитию метода усреднения Н. Н. Боголюбова на основе использования аппарата непрерывных групп преобразований. Доказываются новые теоремы об асимптотической декомпозиции систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматриваются новые классы задач. Основные алгоритмы носят конструктивный характер и сводятся к простейшим задачам линейной алгебры. Рассчитана на широкий круг инженерно-технических и научных работников, интересующихся современными методами исследования систем дифференциальных уравнений и их приложениями.