Запропоновано загальний метод побудови динамічного та дисипативного членів у рівнянні руху магнетизації на основі кінетичних рівнянь Онзагера. Особливу увагу приділено явищам дисипації. Розвинено теорію дисипативної функції феромагнетиків, антиферомагнетиків та парамагнетиків. Показано, що ефективні магнітні поля, що відповідають магнетизації та магнітному моменту (або їхній лінійній комбінації) підрешітки, можуть бути визначальними змінними дисипативної функції. Метод побудови дисипативної функції складається з трьох етапів. По-перше, проводиться класифікація взаємодій в магнетиках, а саме розділення їх на обмінні та релятивістичні; по-друге, побудовано інваріанти ефективного магнітного поля відповідно до симетрії кристалів; по-третє, розглянуто мікроаспекти коефіцієнтів дисипації в магнетиках. При цьому враховуються найнижчі степені ефективного магнітного поля в розкладі дисипативної функції. Дисипативна функція кристала дозволяє знайти релаксаційні доданки в рівняннях магнітних моментів мігнітної підрешітки. З метою ілюстрації методу розглянуто затухання спінових хвиль, рухливість доменної стінки та ширини ліній магнітного та феромагнітного резонансів. Розглянуто також релаксаційні процеси динамічних солітонів у феромагнетиках.

Доведено існування широкого класу скінченних множин функціоналів, які повністю визначають асимптотичну поведінку розв'язків хвильових рівнянь з нелінійними демпфуванням. Цей клас містить скінченні множини визначальних мод, вузлів і локальних об'ємних усереднень.

Наведено метод багаторазових внутрішніх відбиттів для розв'язання нестаціонарних задач тунелювання частинок крізь одновимірні та сферично-симетричні бар'єри прямокутної форми. Для одновимірної задачі доведено можливість застосування методу, досліджено його особливості. Для сферично-симетричної задачі за цим методом знайдено амплітуди похідного та відбитого хвильових пакетів, що описують частинку, часи тунелювання та відбиття відносно бар'єра, проаналізовано ефект Хартмана - Флетчера.

Розглянуто різні методи виведення стохастичної ієрархії, що відповідає стохастичній динаміці, яка є границею Больцмана - Греда від гамільтонової динаміки пружних куль. Розв'язки стохастичної ієрархії є границею Больцмана - Греда розв'язків ієрархії ББГКІ для пружних куль у всьому фазовому просторі. Запропоновано нову концепцію редукованих функцій розподілу, що відповідають стохастичній динаміці. Нові функції розподілу враховують вклади від гіперплощин менших розмірностей, де взаємодіють стохастичні точкові частинки. Розв'язки рівняння Больцмана збігаються з одночастинковими функціями розподілу стохастичної ієрархії Больцмана та зображуються інтегралами на гіперповерхнях, де стохастичні точкові частки взаємодіють.

Для поперечно-неоднорідного діелектричного шару виведено дисперсійні рівняння в околі морсівської критичної точки і встановлено закономірності нерегулярної динаміки спектрів поблизу неї, що дозволило одержати для них квадратичні форми та локальні рівняння просторово-часової еволюції коливально-хвильових полів.

Представлено нове визначення інтеграла для функцій зі значеннями в банаховому просторі. Нова властивість інтегровності є слабкішою за інтегровність за Бохнером, але сильнішою, ніж інтегровність за Петтісом. Це визначення інтеграла природним чином веде до поняття множини границь інтегральних сум, яке можна розглядати як "узагальнений інтеграл" для неінтегровних функцій. Показано, що ця множина завжди є опуклою, а також непорожньою, якщо функція має інтегровну мажоранту, а простір є сепарабельним або рефлексивним.

Розглядається проблема розповсюдження оптичних вихорів в багатомодових волокнах. Показано яких структурних змін дізнають хвильова і променева поверхні при переході із вільного простору в середовище волокна. Записане рівняння неперервності для потоку кутового момента вихора в неоднорідному середовищі.

Рівняння сильного зв'язку для амплітуд переходів використано для дослідження іонізації воднеподібних атомів інтенсивним монохроматичним лазерним полем. Ортогональний нормалізований базис, в якому розв'язок залежного від часу рівняння є розширеним, містить незбурені хвильові функції дискретного спектра та узагальнені кулонівські хвильові функції континууму. Для дослідження рівнянь сильного зв'язку використано той факт, що зв'язано-вільні та вільно-вільні переходи є ефективними в різних областях комплексної площини часу. Сформульовано спрощені рівняння, а рівняння для зв'язано-вільних переходів зведено до звичайних диференціальних рівнянь. Рівняння для вільно-вільних переходів розв'язано з використанням квадратур. Отримано результати з іонізації атома водню з основного стану в сильному та надсильному лінійно поляризованих полях. Наведено енергетичні розподіли електронів та їх розподіли за кутовими моментами. Показано, що у цьому випадку основний стан повністю розпадається, а вільно-вільні переходи грають визначну роль у динаміці процесу. Враховано також електронні переходи з континууму на вищі рідбергівські стани. Знайдено, що загальне заселення всіх рідбергівських станів є меншим, ніж 5 %. Обговорено область застосованості підходу. Наведено порівняння з числовими результатами, отриманими іншими авторами.

У рамках самоузгодженого опису критичних властивостей тривимірної ізінгівської системи одержано рівняння для температури фазового переходу та знайдено його розв'язок. Досліджено залежність критичної температури від співвідношення мікроскопічних параметрів системи (радіуса дії експонентно спадного потенціалу взаємодії частинок і сталої простої кубічної гратки).

Викладено нове узагальнення матрично-значних допоміжних функцій. Матрично-значна функція є структурою, з елементів якої будуються як скалярна, так і векторна функції Ляпунова, що застосовуються при аналізі стійкості нелінійних систем. Концентрація матрично-значних функцій, що викладена у статті додає гнучкості прямому методу Ляпунова в нелінійній динаміці систем.

Запропоновано та досліджено шляхом чисельного моделювання новий алгоритм для впровадження керування у високороздільних адаптивних оптичних системах, основаних на прямій оптимізації критерію якості. Алгоритм використовує модифіковану версію техніки градієнтного спуску на основі паралельних стохастичних пертурбацій та, щоб враховувати різний вплив крупно- та дрібномасштабних спотворень хвильового фронту на роботу оптичної системи, впроваджує відповідний глобальний зв'язок між каналами управління. Роботу нового алгоритму вивчено на прикладі некогерентної адаптивної зображуючої системи високого розділення. Результати моделювання підтверджують ефективність цього алгоритму. Він також може бути успішно застосований до широкого кола адаптивних систем з великою кількістю каналів управління, де звичайні методи управління малоефективні.

Розглянуто динаміку таких топологічних об'єктів, як фазові вихорі, екстремуми та сідла, що розташовані на хвильовому фронті монохроматичного світлового пучка, утвореного зі звичайного гауссового пучка та "сингулярного" пучка, що містить оптичний вихор у гауссовій обвідній. Вперше визначено топологічні явища, що супроводжують народження, анігіляцію та рух оптичних вихорів.

Замість КХД запропоновано нову квантову теорію, яка є граничним випадком теорії Гейзенберга - Шредінгера. Ця теорія добре пристосована до розгляду фізичних явищ, які виникають на надмалих відстанях (в області надвисоких енергій). В основі теорії лежать майже періодичні функції, які розглядаються на імпульсному просторі. На конфігураційному просторі їм відповідають функції, зосереджені на точкових підмножинах. Такими функціями описуються точкові об'єкти - конституенти фундаментальних частинок, які названо гранулами.

За допомогою методу ВКБ рівняння Дірака з аксіально симетричним потенціалом, який не допускає повного відокремлення змінних, аналітично розв'язано в підбар'єрній області в околі осі симетрії потенціалу. Цей підхід враховує спін-спінову та спін-орбітальну взаємодії. У межах розробленої схеми побудовано релятивістську двоцентрову хвильову функцію. Обчислено перші два члени асимптотики (за великими між'ядерними відстанями) потенціалу обмінної взаємодії іона з атомом. Уперше враховано ефект перевороту спіну.

Розглянуто актуальні питання створення прогресивних інформаційних технологій, проблеми побудови на їх базі новітніх інформаційних систем. Проаналізовано взаємозв'язок між кластеризацією та багатовимірним масштабуванням з використанням нейромереж, неточності під час інвентаризації парникових газів і моделювання вуглецевого балансу України. Запропоновано підхід до прогнозування геліотехногенного впливу на стан здоров'я людей, шляхи підвищення ефективності алгоритмів швидких ортогональних хвильових перетворень, удосконалення прогресуючого малохвильового кодування зображення з урахуванням особливостей системи зору людини.

Розглянуто філософію, феноменологію, соціологію, психологію, історію та історіографію релігії. Значну увагу приділено есхатологічній перспективі світу, проблемі періодизації історії релігії та її типологізації, а також закономірностям релігійного процесу в Україні. Окремі розділи присвячено іудаїзму, буддизму, християнству та ісламу, особливостям і метатеологічним функціям філософської теології, дохристиянським віруванням українського народу, сучасним богословським концепціям поєднання релігії та політики тощо. Детально проаналізовано антропологічну та онтологічну пантеїзацію християнства, основні напрямки сучасного вільнодумства, а також міжконфесійні відносини у світі.

Иллюстрацией двух направлений развития писательского творчества в эпоху Возрождения служит анализ представлений в произведениях Леонардо Бруни и Николаса Бретона морально-этической категории гнева.

Розглянуто деякі асимптотичні та граничні властивості еластопотенціальних апроксимант, які використовуються в автоматизованих комплексах розрахунку конструкцій, а також практичні аспекти оцінювання функцій розподілу і щільностей розподілу тригонометричними сплайн-функціями. Детально проаналізовано питання оптимізації стиснення даних за допомогою відомої комбінованої словниково-статистичної схеми (кодування Леплела - Зіва з наступним динамічним арифметичним кодуванням або кодуванням Хофмана). Запропоновано обчислювальні схеми та інформаційну технологію побудови поверхонь на основі двовимірних поліноміальних усереднюючих сплайн-регресійних залежностей, що дозволяє здійснювати картографування у системах моніторингу за умов техногенних навантажень.

Обговорюються актуальні питання з проблем управління освітою, зокрема, соціально-економічної мотивації в галузі освіти; нової парадигми управління національною освітою як органічною частиною всього суспільства. Висвітлюються проблеми філософії і виховання в післядипломній освіті - культуротворча функція післядипломної освіти; врахування особливостей регіону в післядипломній освіті вчителів; народні традиції, звичаї, обряди як джерело пізнання генетичного кореня народу та ін. Аналізуються соціально-психологічні основи управління інноваційними процесами в освіті - модульно-розвивальна система навчання; технологічна підготовка вчителів як передумова освоєння педагогічних інновацій тощо.

Запропоновано метод розв'язання стаціонарного кінетичного рівняння переносу, що базується на перетворенні Фур'є, на відміну від методу, який базується на розкладі функції розподілу часток у ряд за сингулярними функціями Кейза. Отримані математичні співвідношення дозволяють довести до завершення обернене перетворення Фур'є та отримати точний аналітичний розв'язок кінетичного рівняння переносу в стаціонарному випадку, який складається лише з елементарних функцій та інтегралів від них.